Bell Number(ベル数) (math/combinatorics/bell-number.hpp)

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• Last update: 2024-05-01 23:44:47+09:00
• Include: #include "math/combinatorics/bell-number.hpp"

概要

ベル数 $B(n,k)$ を求める.

区別できる $n$ 個のボールを区別できない $k$ 個以下の箱に分割する方法の数を与える.

特に $B(n,n)$ は $n$ 個のボールを任意個のグループに分割する方法の数である.

• bell_number(n, k): $B(n, k)$ を返す.

計算量

• $O(\min(n, k) \log n)$

Depends on

• Enumeration(組み合わせ) (math/combinatorics/enumeration.hpp)

Verified with

• test/verify/aoj-dpl-5-g.test.cpp

Code

#include "enumeration.hpp"

/**
 * @brief Bell Number(ベル数)
 *
 */
template <typename T>
T bell_number(int n, int k) {
  if (n == 0) return 1;
  k = min(k, n);
  Enumeration<T> uku(k);
  T ret = 0;
  vector<T> pref(k + 1);
  pref[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= k; i++) {
    if (i & 1)
      pref[i] = pref[i - 1] - uku.finv(i);
    else
      pref[i] = pref[i - 1] + uku.finv(i);
  }
  for (int i = 1; i <= k; i++) {
    ret += T(i).pow(n) * uku.finv(i) * pref[k - i];
  }
  return ret;
}

#line 1 "math/combinatorics/enumeration.hpp"
/**
 * @brief Enumeration(組み合わせ)
 */
template <typename T>
struct Enumeration {
 private:
  static vector<T> _fact, _finv, _inv;

  inline static void expand(size_t sz) {
    if (_fact.size() < sz + 1) {
      int pre_sz = max(1, (int)_fact.size());
      _fact.resize(sz + 1, T(1));
      _finv.resize(sz + 1, T(1));
      _inv.resize(sz + 1, T(1));
      for (int i = pre_sz; i <= (int)sz; i++) {
        _fact[i] = _fact[i - 1] * T(i);
      }
      _finv[sz] = T(1) / _fact[sz];
      for (int i = (int)sz - 1; i >= pre_sz; i--) {
        _finv[i] = _finv[i + 1] * T(i + 1);
      }
      for (int i = pre_sz; i <= (int)sz; i++) {
        _inv[i] = _finv[i] * _fact[i - 1];
      }
    }
  }

 public:
  explicit Enumeration(size_t sz = 0) { expand(sz); }

  static inline T fact(int k) {
    expand(k);
    return _fact[k];
  }

  static inline T finv(int k) {
    expand(k);
    return _finv[k];
  }

  static inline T inv(int k) {
    expand(k);
    return _inv[k];
  }

  static T P(int n, int r) {
    if (r < 0 || n < r) return 0;
    return fact(n) * finv(n - r);
  }

  static T C(int p, int q) {
    if (q < 0 || p < q) return 0;
    return fact(p) * finv(q) * finv(p - q);
  }

  static T H(int n, int r) {
    if (n < 0 || r < 0) return 0;
    return r == 0 ? 1 : C(n + r - 1, r);
  }
};

template <typename T>
vector<T> Enumeration<T>::_fact = vector<T>();
template <typename T>
vector<T> Enumeration<T>::_finv = vector<T>();
template <typename T>
vector<T> Enumeration<T>::_inv = vector<T>();
#line 2 "math/combinatorics/bell-number.hpp"

/**
 * @brief Bell Number(ベル数)
 *
 */
template <typename T>
T bell_number(int n, int k) {
  if (n == 0) return 1;
  k = min(k, n);
  Enumeration<T> uku(k);
  T ret = 0;
  vector<T> pref(k + 1);
  pref[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= k; i++) {
    if (i & 1)
      pref[i] = pref[i - 1] - uku.finv(i);
    else
      pref[i] = pref[i - 1] + uku.finv(i);
  }
  for (int i = 1; i <= k; i++) {
    ret += T(i).pow(n) * uku.finv(i) * pref[k - i];
  }
  return ret;
}

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