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:heavy_check_mark: Stirling Number Second(第2種スターリング数)
(math/combinatorics/stirling-number-second.hpp)

概要

第 2 種スターリング数 $\{ {n \atop k} \}$ を求める.

区別できる $n$ 個のボールを区別できない $k$ 個の箱に分割する方法の数を与える.

計算方法は包除原理の考え方に基づく. $k$ 個の箱のうち空箱があったら違反. 違反する個数で包除する. 具体的には $k$ 個の箱から $k-i$ 個選んだとして, それらの箱にボールを入れない方法の数 $({k \atop i})i^{n}$ を足し引きする.

$\displaystyle \{ {n \atop k} \} = { \frac {1}{k!} } \sum_{i=0}^{k} {(-1)^{k-i} ({k \atop i})i^{n} }$

使い方

計算量

Depends on

Verified with

Code

#include "enumeration.hpp"

/**
 * @brief Stirling Number Second(第2種スターリング数)
 * @docs docs/stirling-number-second.md
 */
template< typename T >
T stirling_number_second(int n, int k) {
  Enumeration< T > table(k);
  T ret = 0;
  for(int i = 0; i <= k; i++) {
    auto add = T(i).pow(n) * table.C(k, i);
    if((k - i) & 1) ret -= add;
    else ret += add;
  }
  return ret * table.finv(k);
}
#line 1 "math/combinatorics/enumeration.hpp"
/**
 * @brief Enumeration(組み合わせ)
 */
template< typename T >
struct Enumeration {
private:
  static vector< T > _fact, _finv, _inv;

  inline static void expand(size_t sz) {
    if(_fact.size() < sz + 1) {
      int pre_sz = max(1, (int) _fact.size());
      _fact.resize(sz + 1, T(1));
      _finv.resize(sz + 1, T(1));
      _inv.resize(sz + 1, T(1));
      for(int i = pre_sz; i <= (int) sz; i++) {
        _fact[i] = _fact[i - 1] * T(i);
      }
      _finv[sz] = T(1) / _fact[sz];
      for(int i = (int) sz - 1; i >= pre_sz; i--) {
        _finv[i] = _finv[i + 1] * T(i + 1);
      }
      for(int i = pre_sz; i <= (int) sz; i++) {
        _inv[i] = _finv[i] * _fact[i - 1];
      }
    }
  }

public:
  explicit Enumeration(size_t sz = 0) { expand(sz); }

  static inline T fact(int k) {
    expand(k);
    return _fact[k];
  }

  static inline T finv(int k) {
    expand(k);
    return _finv[k];
  }

  static inline T inv(int k) {
    expand(k);
    return _inv[k];
  }

  static T P(int n, int r) {
    if(r < 0 || n < r) return 0;
    return fact(n) * finv(n - r);
  }

  static T C(int p, int q) {
    if(q < 0 || p < q) return 0;
    return fact(p) * finv(q) * finv(p - q);
  }

  static T H(int n, int r) {
    if(n < 0 || r < 0) return 0;
    return r == 0 ? 1 : C(n + r - 1, r);
  }
};

template< typename T >
vector< T > Enumeration< T >::_fact = vector< T >();
template< typename T >
vector< T > Enumeration< T >::_finv = vector< T >();
template< typename T >
vector< T > Enumeration< T >::_inv = vector< T >();
#line 2 "math/combinatorics/stirling-number-second.hpp"

/**
 * @brief Stirling Number Second(第2種スターリング数)
 * @docs docs/stirling-number-second.md
 */
template< typename T >
T stirling_number_second(int n, int k) {
  Enumeration< T > table(k);
  T ret = 0;
  for(int i = 0; i <= k; i++) {
    auto add = T(i).pow(n) * table.C(k, i);
    if((k - i) & 1) ret -= add;
    else ret += add;
  }
  return ret * table.finv(k);
}
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