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:question: Convex Hull Trick Add Monotone
(structure/convex-hull-trick/convex-hull-trick-add-monotone.hpp)

概要

直線 $ax+b$ の追加クエリ(ただし $a$ は単調増加または単調減少) と, ある点 $x$ での最小値クエリを効率的に処理する.

追加クエリは $a$ の単調性を考えながら, 上手く stack で管理することで効率的に処理できる(凸包を求めるアルゴリズムと似ている).

最小値クエリは $x$ が単調増加または単調減少のとき stack を端からみることで全体で $O(q + n)$, 単調性がない場合も二分探索することでクエリあたり $(\log n)$ で求められる.

使い方

is_Mintrue にすると最小値, false にすると最大値を求める.

計算量

$n$ は追加する直線の個数, $q$ はクエリ数.

Verified with

Code

/**
 * @brief Convex Hull Trick Add Monotone
 * @docs docs/convex-hull-trick-add-monotone.md
*/
template< typename T, bool isMin >
struct ConvexHullTrickAddMonotone {
#define F first
#define S second
  using P = pair< T, T >;
  deque< P > H;

  ConvexHullTrickAddMonotone() = default;

  bool empty() const { return H.empty(); }

  void clear() { H.clear(); }

  inline int sgn(T x) { return x == 0 ? 0 : (x < 0 ? -1 : 1); }

  inline bool check(const P &a, const P &b, const P &c) {
    if(b.S == a.S || c.S == b.S)
      return sgn(b.F - a.F) * sgn(c.S - b.S) >= sgn(c.F - b.F) * sgn(b.S - a.S);
    //return (b.F-a.F)*(c.S-b.S) >= (b.S-a.S)*(c.F-b.F);
    if(is_integral< T >::value) {
      return (b.S - a.S) / (a.F - b.F) >= (c.S - b.S) / (b.F - c.F);
    } else {
      return
          (b.F - a.F) * sgn(c.S - b.S) / abs(b.S - a.S) >=
          (c.F - b.F) * sgn(b.S - a.S) / abs(c.S - b.S);
    }
  }

  void add(T a, T b) {
    if(!isMin) a *= -1, b *= -1;
    P line(a, b);
    if(empty()) {
      H.emplace_front(line);
      return;
    }
    if(H.front().F <= a) {
      if(H.front().F == a) {
        if(H.front().S <= b) return;
        H.pop_front();
      }
      while(H.size() >= 2 && check(line, H.front(), H[1])) H.pop_front();
      H.emplace_front(line);
    } else {
      assert(a <= H.back().F);
      if(H.back().F == a) {
        if(H.back().S <= b) return;
        H.pop_back();
      }
      while(H.size() >= 2 && check(H[H.size() - 2], H.back(), line)) H.pop_back();
      H.emplace_back(line);
    }
  }

  inline T get_y(const P &a, const T &x) {
    return a.F * x + a.S;
  }

  T query(T x) {
    assert(!empty());
    int l = -1, r = H.size() - 1;
    while(l + 1 < r) {
      int m = (l + r) >> 1;
      if(get_y(H[m], x) >= get_y(H[m + 1], x)) l = m;
      else r = m;
    }
    if(isMin) return get_y(H[r], x);
    return -get_y(H[r], x);
  }

  T query_monotone_inc(T x) {
    assert(!empty());
    while(H.size() >= 2 && get_y(H.front(), x) >= get_y(H[1], x)) H.pop_front();
    if(isMin) return get_y(H.front(), x);
    return -get_y(H.front(), x);
  }

  T query_monotone_dec(T x) {
    assert(!empty());
    while(H.size() >= 2 && get_y(H.back(), x) >= get_y(H[H.size() - 2], x)) H.pop_back();
    if(isMin) return get_y(H.back(), x);
    return -get_y(H.back(), x);
  }

#undef F
#undef S
};
#line 1 "structure/convex-hull-trick/convex-hull-trick-add-monotone.hpp"
/**
 * @brief Convex Hull Trick Add Monotone
 * @docs docs/convex-hull-trick-add-monotone.md
*/
template< typename T, bool isMin >
struct ConvexHullTrickAddMonotone {
#define F first
#define S second
  using P = pair< T, T >;
  deque< P > H;

  ConvexHullTrickAddMonotone() = default;

  bool empty() const { return H.empty(); }

  void clear() { H.clear(); }

  inline int sgn(T x) { return x == 0 ? 0 : (x < 0 ? -1 : 1); }

  inline bool check(const P &a, const P &b, const P &c) {
    if(b.S == a.S || c.S == b.S)
      return sgn(b.F - a.F) * sgn(c.S - b.S) >= sgn(c.F - b.F) * sgn(b.S - a.S);
    //return (b.F-a.F)*(c.S-b.S) >= (b.S-a.S)*(c.F-b.F);
    if(is_integral< T >::value) {
      return (b.S - a.S) / (a.F - b.F) >= (c.S - b.S) / (b.F - c.F);
    } else {
      return
          (b.F - a.F) * sgn(c.S - b.S) / abs(b.S - a.S) >=
          (c.F - b.F) * sgn(b.S - a.S) / abs(c.S - b.S);
    }
  }

  void add(T a, T b) {
    if(!isMin) a *= -1, b *= -1;
    P line(a, b);
    if(empty()) {
      H.emplace_front(line);
      return;
    }
    if(H.front().F <= a) {
      if(H.front().F == a) {
        if(H.front().S <= b) return;
        H.pop_front();
      }
      while(H.size() >= 2 && check(line, H.front(), H[1])) H.pop_front();
      H.emplace_front(line);
    } else {
      assert(a <= H.back().F);
      if(H.back().F == a) {
        if(H.back().S <= b) return;
        H.pop_back();
      }
      while(H.size() >= 2 && check(H[H.size() - 2], H.back(), line)) H.pop_back();
      H.emplace_back(line);
    }
  }

  inline T get_y(const P &a, const T &x) {
    return a.F * x + a.S;
  }

  T query(T x) {
    assert(!empty());
    int l = -1, r = H.size() - 1;
    while(l + 1 < r) {
      int m = (l + r) >> 1;
      if(get_y(H[m], x) >= get_y(H[m + 1], x)) l = m;
      else r = m;
    }
    if(isMin) return get_y(H[r], x);
    return -get_y(H[r], x);
  }

  T query_monotone_inc(T x) {
    assert(!empty());
    while(H.size() >= 2 && get_y(H.front(), x) >= get_y(H[1], x)) H.pop_front();
    if(isMin) return get_y(H.front(), x);
    return -get_y(H.front(), x);
  }

  T query_monotone_dec(T x) {
    assert(!empty());
    while(H.size() >= 2 && get_y(H.back(), x) >= get_y(H[H.size() - 2], x)) H.pop_back();
    if(isMin) return get_y(H.back(), x);
    return -get_y(H.back(), x);
  }

#undef F
#undef S
};
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