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#include "structure/convex-hull-trick/convex-hull-trick-add-monotone.hpp"
直線 $ax+b$ の追加クエリ(ただし $a$ は単調増加または単調減少) と, ある点 $x$ での最小値クエリを効率的に処理する.
追加クエリは $a$ の単調性を考えながら, 上手く stack で管理することで効率的に処理できる(凸包を求めるアルゴリズムと似ている).
最小値クエリは $x$ が単調増加または単調減少のとき stack を端からみることで全体で $O(q + n)$, 単調性がない場合も二分探索することでクエリあたり $(\log n)$ で求められる.
is_Min
を true
にすると最小値, false
にすると最大値を求める.
add(a, b)
: 直線 $ax + b$ を追加する. ただし $a$ は広義単調増加または広義単調減少.query(x)
: $ax + b$ の最小値を求める.query_monotone_inc(x)
: $ax + b$ の最小値を求める. ただし $x$ は広義単調増加.query_monotone_dec(x)
: $ax + b$ の最小値を求める. ただし $x$ は広義単調減少.add()
: 全体で $O(n)$query()
: クエリあたり $O(\log n)$query_monotone_inc(x)
, query_monotone_dec(x)
: 全体で $O(n + q)$$n$ は追加する直線の個数, $q$ はクエリ数.
/**
* @brief Convex Hull Trick Add Monotone
*
*/
template< typename T, bool isMin >
struct ConvexHullTrickAddMonotone {
#define F first
#define S second
using P = pair< T, T >;
deque< P > H;
ConvexHullTrickAddMonotone() = default;
bool empty() const { return H.empty(); }
void clear() { H.clear(); }
inline int sgn(T x) { return x == 0 ? 0 : (x < 0 ? -1 : 1); }
inline bool check(const P &a, const P &b, const P &c) {
if(b.S == a.S || c.S == b.S)
return sgn(b.F - a.F) * sgn(c.S - b.S) >= sgn(c.F - b.F) * sgn(b.S - a.S);
//return (b.F-a.F)*(c.S-b.S) >= (b.S-a.S)*(c.F-b.F);
if(is_integral< T >::value) {
return (b.S - a.S) / (a.F - b.F) >= (c.S - b.S) / (b.F - c.F);
} else {
return
(b.F - a.F) * sgn(c.S - b.S) / abs(b.S - a.S) >=
(c.F - b.F) * sgn(b.S - a.S) / abs(c.S - b.S);
}
}
void add(T a, T b) {
if(!isMin) a *= -1, b *= -1;
P line(a, b);
if(empty()) {
H.emplace_front(line);
return;
}
if(H.front().F <= a) {
if(H.front().F == a) {
if(H.front().S <= b) return;
H.pop_front();
}
while(H.size() >= 2 && check(line, H.front(), H[1])) H.pop_front();
H.emplace_front(line);
} else {
assert(a <= H.back().F);
if(H.back().F == a) {
if(H.back().S <= b) return;
H.pop_back();
}
while(H.size() >= 2 && check(H[H.size() - 2], H.back(), line)) H.pop_back();
H.emplace_back(line);
}
}
inline T get_y(const P &a, const T &x) {
return a.F * x + a.S;
}
T query(T x) {
assert(!empty());
int l = -1, r = H.size() - 1;
while(l + 1 < r) {
int m = (l + r) >> 1;
if(get_y(H[m], x) >= get_y(H[m + 1], x)) l = m;
else r = m;
}
if(isMin) return get_y(H[r], x);
return -get_y(H[r], x);
}
T query_monotone_inc(T x) {
assert(!empty());
while(H.size() >= 2 && get_y(H.front(), x) >= get_y(H[1], x)) H.pop_front();
if(isMin) return get_y(H.front(), x);
return -get_y(H.front(), x);
}
T query_monotone_dec(T x) {
assert(!empty());
while(H.size() >= 2 && get_y(H.back(), x) >= get_y(H[H.size() - 2], x)) H.pop_back();
if(isMin) return get_y(H.back(), x);
return -get_y(H.back(), x);
}
#undef F
#undef S
};
#line 1 "structure/convex-hull-trick/convex-hull-trick-add-monotone.hpp"
/**
* @brief Convex Hull Trick Add Monotone
*
*/
template< typename T, bool isMin >
struct ConvexHullTrickAddMonotone {
#define F first
#define S second
using P = pair< T, T >;
deque< P > H;
ConvexHullTrickAddMonotone() = default;
bool empty() const { return H.empty(); }
void clear() { H.clear(); }
inline int sgn(T x) { return x == 0 ? 0 : (x < 0 ? -1 : 1); }
inline bool check(const P &a, const P &b, const P &c) {
if(b.S == a.S || c.S == b.S)
return sgn(b.F - a.F) * sgn(c.S - b.S) >= sgn(c.F - b.F) * sgn(b.S - a.S);
//return (b.F-a.F)*(c.S-b.S) >= (b.S-a.S)*(c.F-b.F);
if(is_integral< T >::value) {
return (b.S - a.S) / (a.F - b.F) >= (c.S - b.S) / (b.F - c.F);
} else {
return
(b.F - a.F) * sgn(c.S - b.S) / abs(b.S - a.S) >=
(c.F - b.F) * sgn(b.S - a.S) / abs(c.S - b.S);
}
}
void add(T a, T b) {
if(!isMin) a *= -1, b *= -1;
P line(a, b);
if(empty()) {
H.emplace_front(line);
return;
}
if(H.front().F <= a) {
if(H.front().F == a) {
if(H.front().S <= b) return;
H.pop_front();
}
while(H.size() >= 2 && check(line, H.front(), H[1])) H.pop_front();
H.emplace_front(line);
} else {
assert(a <= H.back().F);
if(H.back().F == a) {
if(H.back().S <= b) return;
H.pop_back();
}
while(H.size() >= 2 && check(H[H.size() - 2], H.back(), line)) H.pop_back();
H.emplace_back(line);
}
}
inline T get_y(const P &a, const T &x) {
return a.F * x + a.S;
}
T query(T x) {
assert(!empty());
int l = -1, r = H.size() - 1;
while(l + 1 < r) {
int m = (l + r) >> 1;
if(get_y(H[m], x) >= get_y(H[m + 1], x)) l = m;
else r = m;
}
if(isMin) return get_y(H[r], x);
return -get_y(H[r], x);
}
T query_monotone_inc(T x) {
assert(!empty());
while(H.size() >= 2 && get_y(H.front(), x) >= get_y(H[1], x)) H.pop_front();
if(isMin) return get_y(H.front(), x);
return -get_y(H.front(), x);
}
T query_monotone_dec(T x) {
assert(!empty());
while(H.size() >= 2 && get_y(H.back(), x) >= get_y(H[H.size() - 2], x)) H.pop_back();
if(isMin) return get_y(H.back(), x);
return -get_y(H.back(), x);
}
#undef F
#undef S
};