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#include "structure/convex-hull-trick/dynamic-li-chao-tree.hpp"
直線 $ax+b$ の追加クエリと, ある点 $x$ での最小値クエリを効率的に処理するデータ構造.
セグメント木の各ノードにその区間で最小の直線を載せるイメージ.
直線の追加クエリでは, そのノード $[l, r)$ の既存の直線と比較する. 交差しないとき上側の直線を捨て, 交差するときは $x$ を区間の中心 $\frac {l + r} {2}$ としたときの値の大小関係を比較する. 小さい方をそのノードの直線とし, 大きい方は子に再帰的に追加する.
点 $x$ での最小値クエリでは, $x$ を含むノードが $O(\log n)$ 個なので, それらを見ればよい.
静的な Li-Chao-Tree と動的な Li-Chao-Tree の速度差は(感覚的には)小さいため, 基本的には最小値クエリの先読みが不要な動的な方がおすすめ.
x_low
には query()
で与える $x$ の最小値, x_high
には $x$ の最大値, id
は単位元(十分大きい値) を指定する. すべての直線について x_low
, x_high
がオーバーフローしないとき意図した動作をする.
最大値クエリは最小値クエリに帰着できて, add_line(-a, -b)
, -query(x)
とすればよい.
add_line(a, b)
: 直線 $ax + b$ を追加する.add_segment(l, r, a, b)
: 区間 $[l, r)$ に線分 $ax + b$ を追加する.query(x)
: $ax + b$ の最小値を求める.add_line(), query()
: $O(\log V)$add_segment()
: $O(\log^2 V)$$V$ は $x$ が動く範囲.
/**
* @brief Dynamic-Li-Chao-Tree
*
*/
template <typename T, T x_low, T x_high, T id>
struct DynamicLiChaoTree {
struct Line {
T a, b;
Line(T a, T b) : a(a), b(b) {}
inline T get(T x) const { return a * x + b; }
};
struct Node {
Line x;
Node *l, *r;
Node(const Line &x) : x{x}, l{nullptr}, r{nullptr} {}
};
Node *root;
DynamicLiChaoTree() : root{nullptr} {}
Node *add_line(Node *t, Line &x, const T &l, const T &r, const T &x_l,
const T &x_r) {
if (!t) return new Node(x);
T t_l = t->x.get(l), t_r = t->x.get(r);
if (t_l <= x_l && t_r <= x_r) {
return t;
} else if (t_l >= x_l && t_r >= x_r) {
t->x = x;
return t;
} else {
T m = (l + r) / 2;
if (m == r) --m;
T t_m = t->x.get(m), x_m = x.get(m);
if (t_m > x_m) {
swap(t->x, x);
if (x_l >= t_l)
t->l = add_line(t->l, x, l, m, t_l, t_m);
else
t->r = add_line(t->r, x, m + 1, r, t_m + x.a, t_r);
} else {
if (t_l >= x_l)
t->l = add_line(t->l, x, l, m, x_l, x_m);
else
t->r = add_line(t->r, x, m + 1, r, x_m + x.a, x_r);
}
return t;
}
}
void add_line(const T &a, const T &b) {
Line x(a, b);
root = add_line(root, x, x_low, x_high, x.get(x_low), x.get(x_high));
}
Node *add_segment(Node *t, Line &x, const T &a, const T &b, const T &l,
const T &r, const T &x_l, const T &x_r) {
if (r < a || b < l) return t;
if (a <= l && r <= b) {
Line y{x};
return add_line(t, y, l, r, x_l, x_r);
}
if (t) {
T t_l = t->x.get(l), t_r = t->x.get(r);
if (t_l <= x_l && t_r <= x_r) return t;
} else {
t = new Node(Line(0, id));
}
T m = (l + r) / 2;
if (m == r) --m;
T x_m = x.get(m);
t->l = add_segment(t->l, x, a, b, l, m, x_l, x_m);
t->r = add_segment(t->r, x, a, b, m + 1, r, x_m + x.a, x_r);
return t;
}
void add_segment(const T &l, const T &r, const T &a, const T &b) {
Line x(a, b);
root = add_segment(root, x, l, r - 1, x_low, x_high, x.get(x_low),
x.get(x_high));
}
T query(const Node *t, const T &l, const T &r, const T &x) const {
if (!t) return id;
if (l == r) return t->x.get(x);
T m = (l + r) / 2;
if (m == r) --m;
if (x <= m)
return min(t->x.get(x), query(t->l, l, m, x));
else
return min(t->x.get(x), query(t->r, m + 1, r, x));
}
T query(const T &x) const { return query(root, x_low, x_high, x); }
};
#line 1 "structure/convex-hull-trick/dynamic-li-chao-tree.hpp"
/**
* @brief Dynamic-Li-Chao-Tree
*
*/
template <typename T, T x_low, T x_high, T id>
struct DynamicLiChaoTree {
struct Line {
T a, b;
Line(T a, T b) : a(a), b(b) {}
inline T get(T x) const { return a * x + b; }
};
struct Node {
Line x;
Node *l, *r;
Node(const Line &x) : x{x}, l{nullptr}, r{nullptr} {}
};
Node *root;
DynamicLiChaoTree() : root{nullptr} {}
Node *add_line(Node *t, Line &x, const T &l, const T &r, const T &x_l,
const T &x_r) {
if (!t) return new Node(x);
T t_l = t->x.get(l), t_r = t->x.get(r);
if (t_l <= x_l && t_r <= x_r) {
return t;
} else if (t_l >= x_l && t_r >= x_r) {
t->x = x;
return t;
} else {
T m = (l + r) / 2;
if (m == r) --m;
T t_m = t->x.get(m), x_m = x.get(m);
if (t_m > x_m) {
swap(t->x, x);
if (x_l >= t_l)
t->l = add_line(t->l, x, l, m, t_l, t_m);
else
t->r = add_line(t->r, x, m + 1, r, t_m + x.a, t_r);
} else {
if (t_l >= x_l)
t->l = add_line(t->l, x, l, m, x_l, x_m);
else
t->r = add_line(t->r, x, m + 1, r, x_m + x.a, x_r);
}
return t;
}
}
void add_line(const T &a, const T &b) {
Line x(a, b);
root = add_line(root, x, x_low, x_high, x.get(x_low), x.get(x_high));
}
Node *add_segment(Node *t, Line &x, const T &a, const T &b, const T &l,
const T &r, const T &x_l, const T &x_r) {
if (r < a || b < l) return t;
if (a <= l && r <= b) {
Line y{x};
return add_line(t, y, l, r, x_l, x_r);
}
if (t) {
T t_l = t->x.get(l), t_r = t->x.get(r);
if (t_l <= x_l && t_r <= x_r) return t;
} else {
t = new Node(Line(0, id));
}
T m = (l + r) / 2;
if (m == r) --m;
T x_m = x.get(m);
t->l = add_segment(t->l, x, a, b, l, m, x_l, x_m);
t->r = add_segment(t->r, x, a, b, m + 1, r, x_m + x.a, x_r);
return t;
}
void add_segment(const T &l, const T &r, const T &a, const T &b) {
Line x(a, b);
root = add_segment(root, x, l, r - 1, x_low, x_high, x.get(x_low),
x.get(x_high));
}
T query(const Node *t, const T &l, const T &r, const T &x) const {
if (!t) return id;
if (l == r) return t->x.get(x);
T m = (l + r) / 2;
if (m == r) --m;
if (x <= m)
return min(t->x.get(x), query(t->l, l, m, x));
else
return min(t->x.get(x), query(t->r, m + 1, r, x));
}
T query(const T &x) const { return query(root, x_low, x_high, x); }
};