Dynamic-Li-Chao-Tree (structure/convex-hull-trick/dynamic-li-chao-tree.hpp)

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• Last update: 2024-04-27 01:27:28+09:00
• Include: #include "structure/convex-hull-trick/dynamic-li-chao-tree.hpp"

概要

直線 $ax+b$ の追加クエリと, ある点 $x$ での最小値クエリを効率的に処理するデータ構造.

セグメント木の各ノードにその区間で最小の直線を載せるイメージ.

直線の追加クエリでは, そのノード $[l, r)$ の既存の直線と比較する. 交差しないとき上側の直線を捨て, 交差するときは $x$ を区間の中心 $\frac {l + r} {2}$ としたときの値の大小関係を比較する. 小さい方をそのノードの直線とし, 大きい方は子に再帰的に追加する.

点 $x$ での最小値クエリでは, $x$ を含むノードが $O(\log n)$ 個なので, それらを見ればよい.

静的な Li-Chao-Tree と動的な Li-Chao-Tree の速度差は(感覚的には)小さいため, 基本的には最小値クエリの先読みが不要な動的な方がおすすめ.

使い方

x_low には query() で与える $x$ の最小値, x_high には $x$ の最大値, id は単位元(十分大きい値) を指定する. すべての直線について x_low, x_high がオーバーフローしないとき意図した動作をする.

最大値クエリは最小値クエリに帰着できて, add_line(-a, -b), -query(x) とすればよい.

• add_line(a, b): 直線 $ax + b$ を追加する.
• add_segment(l, r, a, b): 区間 $[l, r)$ に線分 $ax + b$ を追加する.
• query(x): $ax + b$ の最小値を求める.

計算量

• add_line(), query(): $O(\log V)$
• add_segment(): $O(\log^2 V)$

$V$ は $x$ が動く範囲.

Verified with

• test/verify/aoj-2725.test.cpp
• test/verify/yosupo-line-add-get-min.test.cpp
• test/verify/yosupo-segment-add-get-min.test.cpp

Code

/**
 * @brief Dynamic-Li-Chao-Tree
 *
 */
template <typename T, T x_low, T x_high, T id>
struct DynamicLiChaoTree {
  struct Line {
    T a, b;

    Line(T a, T b) : a(a), b(b) {}

    inline T get(T x) const { return a * x + b; }
  };

  struct Node {
    Line x;
    Node *l, *r;

    Node(const Line &x) : x{x}, l{nullptr}, r{nullptr} {}
  };

  Node *root;

  DynamicLiChaoTree() : root{nullptr} {}

  Node *add_line(Node *t, Line &x, const T &l, const T &r, const T &x_l,
                 const T &x_r) {
    if (!t) return new Node(x);

    T t_l = t->x.get(l), t_r = t->x.get(r);

    if (t_l <= x_l && t_r <= x_r) {
      return t;
    } else if (t_l >= x_l && t_r >= x_r) {
      t->x = x;
      return t;
    } else {
      T m = (l + r) / 2;
      if (m == r) --m;
      T t_m = t->x.get(m), x_m = x.get(m);
      if (t_m > x_m) {
        swap(t->x, x);
        if (x_l >= t_l)
          t->l = add_line(t->l, x, l, m, t_l, t_m);
        else
          t->r = add_line(t->r, x, m + 1, r, t_m + x.a, t_r);
      } else {
        if (t_l >= x_l)
          t->l = add_line(t->l, x, l, m, x_l, x_m);
        else
          t->r = add_line(t->r, x, m + 1, r, x_m + x.a, x_r);
      }
      return t;
    }
  }

  void add_line(const T &a, const T &b) {
    Line x(a, b);
    root = add_line(root, x, x_low, x_high, x.get(x_low), x.get(x_high));
  }

  Node *add_segment(Node *t, Line &x, const T &a, const T &b, const T &l,
                    const T &r, const T &x_l, const T &x_r) {
    if (r < a || b < l) return t;
    if (a <= l && r <= b) {
      Line y{x};
      return add_line(t, y, l, r, x_l, x_r);
    }
    if (t) {
      T t_l = t->x.get(l), t_r = t->x.get(r);
      if (t_l <= x_l && t_r <= x_r) return t;
    } else {
      t = new Node(Line(0, id));
    }
    T m = (l + r) / 2;
    if (m == r) --m;
    T x_m = x.get(m);
    t->l = add_segment(t->l, x, a, b, l, m, x_l, x_m);
    t->r = add_segment(t->r, x, a, b, m + 1, r, x_m + x.a, x_r);
    return t;
  }

  void add_segment(const T &l, const T &r, const T &a, const T &b) {
    Line x(a, b);
    root = add_segment(root, x, l, r - 1, x_low, x_high, x.get(x_low),
                       x.get(x_high));
  }

  T query(const Node *t, const T &l, const T &r, const T &x) const {
    if (!t) return id;
    if (l == r) return t->x.get(x);
    T m = (l + r) / 2;
    if (m == r) --m;
    if (x <= m)
      return min(t->x.get(x), query(t->l, l, m, x));
    else
      return min(t->x.get(x), query(t->r, m + 1, r, x));
  }

  T query(const T &x) const { return query(root, x_low, x_high, x); }
};

#line 1 "structure/convex-hull-trick/dynamic-li-chao-tree.hpp"
/**
 * @brief Dynamic-Li-Chao-Tree
 *
 */
template <typename T, T x_low, T x_high, T id>
struct DynamicLiChaoTree {
  struct Line {
    T a, b;

    Line(T a, T b) : a(a), b(b) {}

    inline T get(T x) const { return a * x + b; }
  };

  struct Node {
    Line x;
    Node *l, *r;

    Node(const Line &x) : x{x}, l{nullptr}, r{nullptr} {}
  };

  Node *root;

  DynamicLiChaoTree() : root{nullptr} {}

  Node *add_line(Node *t, Line &x, const T &l, const T &r, const T &x_l,
                 const T &x_r) {
    if (!t) return new Node(x);

    T t_l = t->x.get(l), t_r = t->x.get(r);

    if (t_l <= x_l && t_r <= x_r) {
      return t;
    } else if (t_l >= x_l && t_r >= x_r) {
      t->x = x;
      return t;
    } else {
      T m = (l + r) / 2;
      if (m == r) --m;
      T t_m = t->x.get(m), x_m = x.get(m);
      if (t_m > x_m) {
        swap(t->x, x);
        if (x_l >= t_l)
          t->l = add_line(t->l, x, l, m, t_l, t_m);
        else
          t->r = add_line(t->r, x, m + 1, r, t_m + x.a, t_r);
      } else {
        if (t_l >= x_l)
          t->l = add_line(t->l, x, l, m, x_l, x_m);
        else
          t->r = add_line(t->r, x, m + 1, r, x_m + x.a, x_r);
      }
      return t;
    }
  }

  void add_line(const T &a, const T &b) {
    Line x(a, b);
    root = add_line(root, x, x_low, x_high, x.get(x_low), x.get(x_high));
  }

  Node *add_segment(Node *t, Line &x, const T &a, const T &b, const T &l,
                    const T &r, const T &x_l, const T &x_r) {
    if (r < a || b < l) return t;
    if (a <= l && r <= b) {
      Line y{x};
      return add_line(t, y, l, r, x_l, x_r);
    }
    if (t) {
      T t_l = t->x.get(l), t_r = t->x.get(r);
      if (t_l <= x_l && t_r <= x_r) return t;
    } else {
      t = new Node(Line(0, id));
    }
    T m = (l + r) / 2;
    if (m == r) --m;
    T x_m = x.get(m);
    t->l = add_segment(t->l, x, a, b, l, m, x_l, x_m);
    t->r = add_segment(t->r, x, a, b, m + 1, r, x_m + x.a, x_r);
    return t;
  }

  void add_segment(const T &l, const T &r, const T &a, const T &b) {
    Line x(a, b);
    root = add_segment(root, x, l, r - 1, x_low, x_high, x.get(x_low),
                       x.get(x_high));
  }

  T query(const Node *t, const T &l, const T &r, const T &x) const {
    if (!t) return id;
    if (l == r) return t->x.get(x);
    T m = (l + r) / 2;
    if (m == r) --m;
    if (x <= m)
      return min(t->x.get(x), query(t->l, l, m, x));
    else
      return min(t->x.get(x), query(t->r, m + 1, r, x));
  }

  T query(const T &x) const { return query(root, x_low, x_high, x); }
};

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