Persistent-Segment-Tree(永続セグメント木)
(structure/segment-tree/persistent-segment-tree.hpp)

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• Last update: 2022-09-11 00:53:50+09:00
• Include: #include "structure/segment-tree/persistent-segment-tree.hpp"

概要

セグメント木のある要素に対して何らかの更新を行うとする. ここで更新後のセグメント木をすべてコピーして残しておくことが永続であるが, これを単純に実装すると, $1$ 回のコピーに $O(N)$ かかってこわれてしまう. $1$ 回の更新によって $O(\log N)$ 個のノードの情報しか変化しないので, 変化したノードの情報だけ新しくノードを生成してその部分のみ張り替えるする操作を行えば $O(\log N)$ でのコピーが可能になり, これは一般のセグメント木の計算量と変わらない.

• PersistentSegmentTree(f, M1): f は2つの区間の要素をマージする二項演算, M1 はモノイドの単位元である.
• build(v): 配列 v を各要素としたセグメント木を構築し, その根を返す.
• update(t, k, x): t を根とするセグメント木に対し k 番目の要素を x に更新し, 更新後の根を返す.
• query(t, a, b): t を根とするセグメント木に対し, 区間 $[a, b)$ の要素を二項演算した結果を返す.

計算量

• build(v): $O(N)$
• クエリ: $O(\log N)$

Code

/**
 * @brief Persistent-Segment-Tree(永続セグメント木)
 * @docs docs/persistent-segment-tree.md
 */
template< typename Monoid >
struct PersistentSegmentTree {
  using F = function< Monoid(Monoid, Monoid) >;

  struct Node {
    Monoid data;
    Node *l, *r;

    Node(const Monoid &data) : data(data), l(nullptr), r(nullptr) {}
  };

  int sz;
  const F f;
  const Monoid M1;

  PersistentSegmentTree(const F f, const Monoid &M1) : f(f), M1(M1) {}

  Node *build(vector< Monoid > &v) {
    sz = (int) v.size();
    return build(0, (int) v.size(), v);
  }

  Node *merge(Node *l, Node *r) {
    auto t = new Node(f(l->data, r->data));
    t->l = l;
    t->r = r;
    return t;
  }

  Node *build(int l, int r, vector< Monoid > &v) {
    if(l + 1 >= r) return new Node(v[l]);
    return merge(build(l, (l + r) >> 1, v), build((l + r) >> 1, r, v));
  }

  Node *update(int a, const Monoid &x, Node *k, int l, int r) {
    if(r <= a || a + 1 <= l) {
      return k;
    } else if(a <= l && r <= a + 1) {
      return new Node(x);
    } else {
      return merge(update(a, x, k->l, l, (l + r) >> 1), update(a, x, k->r, (l + r) >> 1, r));
    }
  }

  Node *update(Node *t, int k, const Monoid &x) {
    return update(k, x, t, 0, sz);
  }

  Monoid query(int a, int b, Node *k, int l, int r) {
    if(r <= a || b <= l) {
      return M1;
    } else if(a <= l && r <= b) {
      return k->data;
    } else {
      return f(query(a, b, k->l, l, (l + r) >> 1),
               query(a, b, k->r, (l + r) >> 1, r));
    }
  }

  Monoid query(Node *t, int a, int b) {
    return query(a, b, t, 0, sz);
  }
};

#line 1 "structure/segment-tree/persistent-segment-tree.hpp"
/**
 * @brief Persistent-Segment-Tree(永続セグメント木)
 * @docs docs/persistent-segment-tree.md
 */
template< typename Monoid >
struct PersistentSegmentTree {
  using F = function< Monoid(Monoid, Monoid) >;

  struct Node {
    Monoid data;
    Node *l, *r;

    Node(const Monoid &data) : data(data), l(nullptr), r(nullptr) {}
  };

  int sz;
  const F f;
  const Monoid M1;

  PersistentSegmentTree(const F f, const Monoid &M1) : f(f), M1(M1) {}

  Node *build(vector< Monoid > &v) {
    sz = (int) v.size();
    return build(0, (int) v.size(), v);
  }

  Node *merge(Node *l, Node *r) {
    auto t = new Node(f(l->data, r->data));
    t->l = l;
    t->r = r;
    return t;
  }

  Node *build(int l, int r, vector< Monoid > &v) {
    if(l + 1 >= r) return new Node(v[l]);
    return merge(build(l, (l + r) >> 1, v), build((l + r) >> 1, r, v));
  }

  Node *update(int a, const Monoid &x, Node *k, int l, int r) {
    if(r <= a || a + 1 <= l) {
      return k;
    } else if(a <= l && r <= a + 1) {
      return new Node(x);
    } else {
      return merge(update(a, x, k->l, l, (l + r) >> 1), update(a, x, k->r, (l + r) >> 1, r));
    }
  }

  Node *update(Node *t, int k, const Monoid &x) {
    return update(k, x, t, 0, sz);
  }

  Monoid query(int a, int b, Node *k, int l, int r) {
    if(r <= a || b <= l) {
      return M1;
    } else if(a <= l && r <= b) {
      return k->data;
    } else {
      return f(query(a, b, k->l, l, (l + r) >> 1),
               query(a, b, k->r, (l + r) >> 1, r));
    }
  }

  Monoid query(Node *t, int a, int b) {
    return query(a, b, t, 0, sz);
  }
};

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