Segment Tree(セグメント木) (structure/segment-tree/segment-tree.hpp)

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• Last update: 2024-04-24 02:34:04+09:00
• Include: #include "structure/segment-tree/segment-tree.hpp"

概要

完全二分木である. モノイドについて区間に対する演算が $O(\log N)$ で処理できる.

モノイドは次の条件を満たす代数的構造である.

• 結合律を満たす. つまり $S$ の各元 $a, b, c$ に対して, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ が満たされる.
• 単位元をもつ. つまり $S$ の任意の元 $a$ をとってきたときに $a \cdot e = e \cdot a = a$ なる $e$ が存在する.

実装では木を 1-indexed の配列で表現している. ノード $k$ について, 親ノードは $\frac k 2$, 子ノードは $2k$, $2k+1$ である.

使い方

計算量のオーダーを表記していない関数は全て $O(\log n)$ で動作する.

• SegmentTree(n, f, M1): サイズ n で初期化する. ここで f は2つの区間の要素をマージする二項演算, M1 はモノイドの単位元である. $O(n)$
• SegmentTree(v, f, M1): 配列 v で初期化する. f と M1 は上と同様. $O(n)$
• build(v): 配列 v で初期化する. $O(n)$
• set(k, x): k 番目の要素を x に変更する.
• get(k): k 番目の要素を返す. $O(1)$
• operator[k]: k 番目の要素を返す. $O(1)$
• apply(k, x): k 番目の要素をその要素と x を二項演算した値に変更する.
• prod(l, r): 区間 $[l, r)$ に対して二項演算した結果を返す.
• all_prod(): 全体を二項演算した結果を返す. $O(1)$
• find_first(a, check): $[a, x)$ が check を満たす最初の要素位置 $x$ を返す. 存在しないとき $n$ を返す. $O(\log n)$
• find_last(b, check): $[x, b)$ が check を満たす最後の要素位置 $x$ を返す. 存在しないとき $-1$ を返す. $(\log n)$

auto seg = get_segment_tree(N, f, M1); のようにすると decltype(f) を用いなくてすむ.

Verified with

• test/verify/aoj-dsl-2-a.test.cpp
• test/verify/yukicoder-650.test.cpp

Code

/**
 * @brief Segment Tree(セグメント木)
 * 
 */
template< typename T, typename F >
struct SegmentTree {
  int n, sz;
  vector< T > seg;

  const F f;
  const T ti;

  SegmentTree() = default;

  explicit SegmentTree(int n, const F f, const T &ti) : n(n), f(f), ti(ti) {
    sz = 1;
    while(sz < n) sz <<= 1;
    seg.assign(2 * sz, ti);
  }

  explicit SegmentTree(const vector< T > &v, const F f, const T &ti) :
      SegmentTree((int) v.size(), f, ti) {
    build(v);
  }

  void build(const vector< T > &v) {
    assert(n == (int) v.size());
    for(int k = 0; k < n; k++) seg[k + sz] = v[k];
    for(int k = sz - 1; k > 0; k--) {
      seg[k] = f(seg[2 * k + 0], seg[2 * k + 1]);
    }
  }

  void set(int k, const T &x) {
    k += sz;
    seg[k] = x;
    while(k >>= 1) {
      seg[k] = f(seg[2 * k + 0], seg[2 * k + 1]);
    }
  }

  T get(int k) const {
    return seg[k + sz];
  }

  T operator[](const int &k) const {
    return get(k);
  }

  void apply(int k, const T &x) {
    k += sz;
    seg[k] = f(seg[k], x);
    while(k >>= 1) {
      seg[k] = f(seg[2 * k + 0], seg[2 * k + 1]);
    }
  }

  T prod(int l, int r) const {
    T L = ti, R = ti;
    for(l += sz, r += sz; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
      if(l & 1) L = f(L, seg[l++]);
      if(r & 1) R = f(seg[--r], R);
    }
    return f(L, R);
  }

  T all_prod() const {
    return seg[1];
  }

  template< typename C >
  int find_first(int l, const C &check) const {
    if(l >= n) return n;
    l += sz;
    T sum = ti;
    do {
      while((l & 1) == 0) l >>= 1;
      if(check(f(sum, seg[l]))) {
        while(l < sz) {
          l <<= 1;
          auto nxt = f(sum, seg[l]);
          if(not check(nxt)) {
            sum = nxt;
            l++;
          }
        }
        return l + 1 - sz;
      }
      sum = f(sum, seg[l++]);
    } while((l & -l) != l);
    return n;
  }

  template< typename C >
  int find_last(int r, const C &check) const {
    if(r <= 0) return -1;
    r += sz;
    T sum = ti;
    do {
      r--;
      while(r > 1 and (r & 1)) r >>= 1;
      if(check(f(seg[r], sum))) {
        while(r < sz) {
          r = (r << 1) + 1;
          auto nxt = f(seg[r], sum);
          if(not check(nxt)) {
            sum = nxt;
            r--;
          }
        }
        return r - sz;
      }
      sum = f(seg[r], sum);
    } while((r & -r) != r);
    return -1;
  }
};

template< typename T, typename F >
SegmentTree< T, F > get_segment_tree(int N, const F &f, const T &ti) {
  return SegmentTree{N, f, ti};
}

template< typename T, typename F >
SegmentTree< T, F > get_segment_tree(const vector< T > &v, const F &f, const T &ti) {
  return SegmentTree{v, f, ti};
}

#line 1 "structure/segment-tree/segment-tree.hpp"
/**
 * @brief Segment Tree(セグメント木)
 * 
 */
template< typename T, typename F >
struct SegmentTree {
  int n, sz;
  vector< T > seg;

  const F f;
  const T ti;

  SegmentTree() = default;

  explicit SegmentTree(int n, const F f, const T &ti) : n(n), f(f), ti(ti) {
    sz = 1;
    while(sz < n) sz <<= 1;
    seg.assign(2 * sz, ti);
  }

  explicit SegmentTree(const vector< T > &v, const F f, const T &ti) :
      SegmentTree((int) v.size(), f, ti) {
    build(v);
  }

  void build(const vector< T > &v) {
    assert(n == (int) v.size());
    for(int k = 0; k < n; k++) seg[k + sz] = v[k];
    for(int k = sz - 1; k > 0; k--) {
      seg[k] = f(seg[2 * k + 0], seg[2 * k + 1]);
    }
  }

  void set(int k, const T &x) {
    k += sz;
    seg[k] = x;
    while(k >>= 1) {
      seg[k] = f(seg[2 * k + 0], seg[2 * k + 1]);
    }
  }

  T get(int k) const {
    return seg[k + sz];
  }

  T operator[](const int &k) const {
    return get(k);
  }

  void apply(int k, const T &x) {
    k += sz;
    seg[k] = f(seg[k], x);
    while(k >>= 1) {
      seg[k] = f(seg[2 * k + 0], seg[2 * k + 1]);
    }
  }

  T prod(int l, int r) const {
    T L = ti, R = ti;
    for(l += sz, r += sz; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
      if(l & 1) L = f(L, seg[l++]);
      if(r & 1) R = f(seg[--r], R);
    }
    return f(L, R);
  }

  T all_prod() const {
    return seg[1];
  }

  template< typename C >
  int find_first(int l, const C &check) const {
    if(l >= n) return n;
    l += sz;
    T sum = ti;
    do {
      while((l & 1) == 0) l >>= 1;
      if(check(f(sum, seg[l]))) {
        while(l < sz) {
          l <<= 1;
          auto nxt = f(sum, seg[l]);
          if(not check(nxt)) {
            sum = nxt;
            l++;
          }
        }
        return l + 1 - sz;
      }
      sum = f(sum, seg[l++]);
    } while((l & -l) != l);
    return n;
  }

  template< typename C >
  int find_last(int r, const C &check) const {
    if(r <= 0) return -1;
    r += sz;
    T sum = ti;
    do {
      r--;
      while(r > 1 and (r & 1)) r >>= 1;
      if(check(f(seg[r], sum))) {
        while(r < sz) {
          r = (r << 1) + 1;
          auto nxt = f(seg[r], sum);
          if(not check(nxt)) {
            sum = nxt;
            r--;
          }
        }
        return r - sz;
      }
      sum = f(seg[r], sum);
    } while((r & -r) != r);
    return -1;
  }
};

template< typename T, typename F >
SegmentTree< T, F > get_segment_tree(int N, const F &f, const T &ti) {
  return SegmentTree{N, f, ti};
}

template< typename T, typename F >
SegmentTree< T, F > get_segment_tree(const vector< T > &v, const F &f, const T &ti) {
  return SegmentTree{v, f, ti};
}

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