Lazy Top Tree (structure/dynamic-tree/lazy-top-tree.hpp)

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• Last update: 2024-05-12 02:41:24+09:00
• Include: #include "structure/dynamic-tree/lazy-top-tree.hpp"

Top Tree とは動的木の一つで, 辺の追加や削除などの木構造の動的な変化がある場合でも効率的にクエリを処理できます。

Light edge に繋がる情報もマージできるため Link Cut Tree よりも強いクエリを処理できます。

コンストラクタ

LazyTopTree< TreeDPInfo >()

TreeDPInfo について

TreeDPInfo は、次の構造体と関数を持つ構造体です。

struct TreeDPInfo {
  struct Lazy {
    static constexpr Lazy id() {}
    void propagate(const Lazy &p) {}
  };
  struct Point {
    void propagate(const Lazy &p) {}
  };
  struct Path {
    void propagate(const Lazy& p) {}
    void propagate_light(const Lazy& p) {}
  };
  struct Info {
    void propagate(const Lazy& p) {}
  };
  static Path vertex(const Info& u) {}
  static Path add_vertex(const Point& d, const Info& u) {}
  static Point add_edge(const Path& d) {}
  static Point rake(const Point& l, const Point& r) {}
  static Path compress(const Path& p, const Path& c) {}
};

• Lazy: 遅延伝搬のための作用素を表す構造体
  • id(): 作用素の単位元を返す関数
  • propagate(p): 自身を新しい作用素 p とマージする関数
• Point: Light edge で繋がる頂点をまとめた結果 (Point cluster) を表す構造体
  • propagate(p): 自身に作用素 p を適用する関数
• Path: Heavy edge で繋がる頂点をまとめた結果 (Path cluster) を表す構造体
  • propagate(p): 自身に作用素 p を適用する関数
  • propagate_light(p): 自身に Light edge に対する作用素 p を適用する関数（通常時は使用しないが、パスと部分木 2 つのタイプの遅延伝搬クエリが与えられる場合に使用することがある）
• Info: 頂点を表す構造体
  • propagate(p): 自身に作用素 p を適用する関数
• vertex(u): 頂点 u のみからなる Path cluster を生成する関数
• add_vertex(d, u): Point cluster d の根に頂点 u を代入して Path cluster にする関数
• add_edge(d): Path cluster d に virtual な根を生やして Point cluster にする関数
• rake(l, r): Point cluster l と r をマージする関数
• compress(p, c): Path cluster p と c (p が根に近い側にある) をマージする関数

propagate(p) は p が単位元 id() の場合でも呼び出されるので注意してください。

以下のコードを Splay Tree により高速化したデータ構造とみなすことができます。

Point calc_light(int r) {
  vector< Point > points;
  // g[r][0] は heavy_edge なので skip
  for(int i = 1; i < (int) g[r].size(); i++) {
    Path res = calc_heavy(g[r][i]);
    points.push_back(add_edge(res));
  }
  for(int i = 1; i < (int) points.size(); i++) {
    points[0] = rake(points[0], points[i]);
  }
  return points[0];
}

Path calc_heavy(int r) {
  vector< Path > paths;
  while(not g[r].empty()) {
    if(g[r].size() == 1) {
      // light_edge を持っていない
      paths.push_back(vertex(info[r]));
    } else {
      // light_edge を持っている
      Point res = calc_light(r);
      paths.push_back(add_vertex(res, info[r]));
    }
    r = g[r][0]; // (r, g[r][0]) は Heavy edge
  }
  for(int i = 1; i < (int) paths.size(); i++) {
    paths[0] = compress(paths[0], paths[i]);
  }
  return paths[0];
}

expose

NP expose(NP t)

頂点 t から根までのパスを Heavy edge で繋げます。t を Splay tree の根にして、t 自身を返します。

計算量

• amortized $O(\log n)$

link

void link(NP child, NP parent)

頂点　child と parent との間に辺を追加します。

制約

• child と parent は異なる連結成分
• child は根（根ではない場合は先に evert(child) を呼び出すこと）

計算量

• amortized $O(\log n)$

cut

void cut(NP child)

頂点 child と親との間にある辺を削除します。

制約

• child は根ではない

計算量

• amortized $O(\log n)$

evert

void evert(t)

頂点 t を根に変更します。

計算量

• amortized $O(\log n)$

alloc

NP alloc(const Info &v)

Info が v の新しい頂点を作成します。

計算量

• O(1)

is_connected

bool is_connected(NP u, NP v)

頂点 u と v が同じ連結成分に属する場合は true、そうではない場合は false を返します。

関数内部で expose(u)、expose(v) の順で呼び出すため、Splay tree の木の根が変更されます。

計算量

• amortized $O(\log n)$

build

vector<NP> build(vector<Info> &vs)

各 Info の値が vs[i] の新しい頂点たちを作成します。

計算量

• $O(n)$

lca

NP lca(NP u, NP v)

頂点 u と v の最小共通祖先を返します。ただし、頂点 u と v が異なる連結成分に属する場合は nullptr を返します。

関数内部で expose(u)、expose(v) の順で呼び出すため、Splay tree の木の根が変更されます。

計算量

• amortized $O(\log n)$

set_key

void set_key(NP t, const Info &v)

頂点 t の Info を v に変更します。

関数内部で expose(t) を呼び出すため、Splay tree の木の根が t に変更されます。

計算量

• amortized $O(\log n)$

query_path

(1) const Path &query_path(NP u)
(2) const Path &query_path(NP u, NP v)

1. 根から頂点 u までのパス上の頂点を Heavy edge で繋げ、それらを compress でマージした結果を返します。
2. 頂点 u から頂点 v までのパス上の頂点を Heavy edge で繋げ、それらを compress でマージした結果を返します。副作用として、頂点 u を根に変更します。

計算量

• amortized $O(\log n)$

query_subtree

(1) Path query_subtree(NP u)
(2) Path query_subtree(NP r, NP u)

1. 頂点 u を根とする部分木を compress でマージした結果を返します。
2. 根を頂点 r に変更し、頂点 u を根とする部分木を compress でマージした結果を返します。

計算量

• amortized $O(\log n)$

set_propagate_path

(1) void set_propagate_path(NP u, const Lazy &lazy)
(2) void set_propagate_path(NP u, NP v, const Lazy &lazy)

1. 根から頂点 u までのパス上の頂点を Heavy edge で繋げ、パス上の頂点全体に作用素 lazy を適用します。
2. 頂点 u から頂点 v までのパス上の頂点を Heavy edge で繋げ、パス上の頂点全体に作用素 lazy を適用します。副作用として、頂点 u を根に変更します。

計算量

• amortized $O(\log n)$

set_propagate_all

void set_propagate_all(NP t, const Lazy &lazy)

頂点 t を含む木全体の頂点に作用素 lazy を適用します。

計算量

• amortized $O(\log n)$

set_propagate_subtree

(1) void set_propagate_subtree(NP t, const Lazy &lazy)
(2) void set_propagate_subtree(NP r, NP u, const Lazy &lazy)

1. 頂点 u を根とする部分木に含まれる頂点全体に作用素 lazy を適用します。
2. 根を頂点 r に変更し、頂点 u を根とする部分木に含まれる頂点全体に作用素 lazy を適用します。

計算量

• amortized $O(\log n)$

Required by

• structure/dynamic-tree/subtree-add-subtree-sum.hpp

Verified with

• test/verify/yosupo-dynamic-tree-subtree-add-subtree-sum-2.test.cpp

Code

template <typename TreeDPInfo>
struct LazySplayTreeForDashedEdge {
  using Lazy = typename TreeDPInfo::Lazy;
  using Point = typename TreeDPInfo::Point;
  struct Node {
    Node *l, *r, *p;
    Point key, sum;
    Lazy lazy, lbuf;

    explicit Node(const Point &key)
        : key(key),
          sum(key),
          lazy(Lazy::id()),
          lbuf(Lazy::id()),
          l(nullptr),
          r(nullptr),
          p(nullptr) {}
  };

  LazySplayTreeForDashedEdge() = default;

  using NP = Node *;

  void rotr(NP t) const {
    NP x = t->p, y = x->p;
    push(x), push(t);
    if ((x->l = t->r)) t->r->p = x;
    t->r = x, x->p = t;
    update(x), update(t);
    if ((t->p = y)) {
      if (y->l == x) y->l = t;
      if (y->r == x) y->r = t;
    }
  }

  void rotl(NP t) const {
    NP x = t->p, y = x->p;
    push(x), push(t);
    if ((x->r = t->l)) t->l->p = x;
    t->l = x, x->p = t;
    update(x), update(t);
    if ((t->p = y)) {
      if (y->l == x) y->l = t;
      if (y->r == x) y->r = t;
    }
  }

  void update(NP t) const {
    t->sum = t->key;
    if (t->l) t->sum = TreeDPInfo::rake(t->sum, t->l->sum);
    if (t->r) t->sum = TreeDPInfo::rake(t->sum, t->r->sum);
  }

  NP get_right(NP t) const {
    while (t->r) t = t->r;
    return t;
  }

  NP alloc(const Point &v) const {
    auto t = new Node(v);
    update(t);
    return t;
  }

  void propagate(NP t, const Lazy &lazy) const {
    t->key.propagate(lazy);
    t->sum.propagate(lazy);
    t->lbuf.propagate(lazy);
    t->lazy.propagate(lazy);
  }

  void push(NP t) const {
    if (t->l) propagate(t->l, t->lazy);
    if (t->r) propagate(t->r, t->lazy);
    t->lazy = Lazy::id();
  }

  void splay(NP t) const {
    push(t);
    while (t->p) {
      NP q = t->p;
      if (!q->p) {
        if (q->l == t)
          rotr(t);
        else
          rotl(t);
      } else {
        NP r = q->p;
        if (r->l == q) {
          if (q->l == t)
            rotr(q), rotr(t);
          else
            rotl(t), rotr(t);
        } else {
          if (q->r == t)
            rotl(q), rotl(t);
          else
            rotr(t), rotl(t);
        }
      }
    }
  }

  NP insert(NP t, const Point &v) const {
    if (not t) {
      t = alloc(v);
      return t;
    } else {
      NP cur = get_right(t), z = alloc(v);
      splay(cur);
      z->p = cur;
      cur->r = z;
      update(cur);
      splay(z);
      return z;
    }
  }

  NP erase(NP t) const {
    splay(t);
    NP x = t->l, y = t->r;
    delete t;
    if (not x) {
      t = y;
      if (t) t->p = nullptr;
    } else if (not y) {
      t = x;
      t->p = nullptr;
    } else {
      x->p = nullptr;
      t = get_right(x);
      splay(t);
      t->r = y;
      y->p = t;
      update(t);
    }
    return t;
  }
};

template <typename TreeDPInfo>
struct LazyTopTree {
  using Lazy = typename TreeDPInfo::Lazy;
  using Path = typename TreeDPInfo::Path;
  using Info = typename TreeDPInfo::Info;

 private:
  struct Node {
    Node *l, *r, *p;
    Info info;
    Path sum, mus;
    typename LazySplayTreeForDashedEdge<TreeDPInfo>::Node *light, *belong;
    bool rev;
    Lazy hlazy, llazy;

    bool is_root() const { return not p or (p->l != this and p->r != this); }

    Node(const Info &info)
        : info(info),
          l(nullptr),
          r(nullptr),
          p(nullptr),
          rev(false),
          light(nullptr),
          belong(nullptr),
          hlazy(Lazy::id()),
          llazy(Lazy::id()) {}
  };

 public:
  using NP = Node *;
  const LazySplayTreeForDashedEdge<TreeDPInfo> splay_tree;

 private:
  void toggle(NP t) {
    swap(t->l, t->r);
    swap(t->sum, t->mus);
    t->rev ^= true;
  }

  void rotr(NP t) {
    NP x = t->p, y = x->p;
    push(x), push(t);
    if ((x->l = t->r)) t->r->p = x;
    t->r = x, x->p = t;
    update(x), update(t);
    if ((t->p = y)) {
      if (y->l == x) y->l = t;
      if (y->r == x) y->r = t;
    }
  }

  void rotl(NP t) {
    NP x = t->p, y = x->p;
    push(x), push(t);
    if ((x->r = t->l)) t->l->p = x;
    t->l = x, x->p = t;
    update(x), update(t);
    if ((t->p = y)) {
      if (y->l == x) y->l = t;
      if (y->r == x) y->r = t;
    }
  }

  void propagate_heavy(NP t, const Lazy &hlazy) {
    t->hlazy.propagate(hlazy);
    t->info.propagate(hlazy);
    t->sum.propagate(hlazy);
    t->mus.propagate(hlazy);
  }

  void propagate_light(NP t, const Lazy &llazy) {
    t->llazy.propagate(llazy);
    t->sum.propagate_light(llazy);
    t->mus.propagate_light(llazy);
  }

  void propagate_all(NP t, const Lazy &lazy) {
    propagate_heavy(t, lazy);
    propagate_light(t, lazy);
  }

 public:
  LazyTopTree() : splay_tree{} {}

  void push(NP t) {
    if (t->rev) {
      if (t->l) toggle(t->l);
      if (t->r) toggle(t->r);
      t->rev = false;
    }
    {
      if (t->l) {
        propagate_heavy(t->l, t->hlazy);
        propagate_light(t->l, t->llazy);
      }
      if (t->r) {
        propagate_heavy(t->r, t->hlazy);
        propagate_light(t->r, t->llazy);
      }
      if (t->light) {
        splay_tree.propagate(t->light, t->llazy);
      }
      t->hlazy = Lazy::id();
      t->llazy = Lazy::id();
    }
  }

  void push_rev(NP t) {
    if (t->rev) {
      if (t->l) toggle(t->l);
      if (t->r) toggle(t->r);
      t->rev = false;
    }
  }

  void update(NP t) {
    Path key = t->light ? TreeDPInfo::add_vertex(t->light->sum, t->info)
                        : TreeDPInfo::vertex(t->info);
    t->sum = key;
    t->mus = key;
    if (t->l) {
      t->sum = TreeDPInfo::compress(t->l->sum, t->sum);
      t->mus = TreeDPInfo::compress(t->mus, t->l->mus);
    }
    if (t->r) {
      t->sum = TreeDPInfo::compress(t->sum, t->r->sum);
      t->mus = TreeDPInfo::compress(t->r->mus, t->mus);
    }
  }

  void splay(NP t) {
    push(t);
    {
      NP rot = t;
      while (not rot->is_root()) rot = rot->p;
      t->belong = rot->belong;
      if (t != rot) rot->belong = nullptr;
    }
    while (not t->is_root()) {
      NP q = t->p;
      if (q->is_root()) {
        push_rev(q), push_rev(t);
        if (q->l == t)
          rotr(t);
        else
          rotl(t);
      } else {
        NP r = q->p;
        push_rev(r), push_rev(q), push_rev(t);
        if (r->l == q) {
          if (q->l == t)
            rotr(q), rotr(t);
          else
            rotl(t), rotr(t);
        } else {
          if (q->r == t)
            rotl(q), rotl(t);
          else
            rotr(t), rotl(t);
        }
      }
    }
  }

  NP expose(NP t) {
    NP rp = nullptr;
    for (NP cur = t; cur; cur = cur->p) {
      splay(cur);
      if (cur->r) {
        cur->light =
            splay_tree.insert(cur->light, TreeDPInfo::add_edge(cur->r->sum));
        cur->r->belong = cur->light;
      }
      cur->r = rp;
      if (cur->r) {
        splay_tree.splay(cur->r->belong);
        propagate_all(cur->r, cur->r->belong->lbuf);
        push(cur->r);
        cur->light = splay_tree.erase(cur->r->belong);
      }
      update(cur);
      rp = cur;
    }
    splay(t);
    return rp;
  }

  void link(NP child, NP parent) {
    if (is_connected(child, parent)) {
      throw runtime_error(
          "child and parent must be different connected components");
    }
    if (child->l) {
      throw runtime_error("child must be root");
    }
    child->p = parent;
    parent->r = child;
    update(parent);
  }

  void cut(NP child) {
    expose(child);
    NP parent = child->l;
    if (not parent) {
      throw runtime_error("child must not be root");
    }
    child->l = nullptr;
    parent->p = nullptr;
    update(child);
  }

  void evert(NP t) {
    expose(t);
    toggle(t);
    push(t);
  }

  NP alloc(const Info &v) {
    NP t = new Node(v);
    update(t);
    return t;
  }

  bool is_connected(NP u, NP v) {
    expose(u), expose(v);
    return u == v or u->p;
  }

  vector<NP> build(vector<Info> &vs) {
    vector<NP> nodes(vs.size());
    for (int i = 0; i < (int)vs.size(); i++) {
      nodes[i] = alloc(vs[i]);
    }
    return nodes;
  }

  NP lca(NP u, NP v) {
    if (not is_connected(u, v)) return nullptr;
    expose(u);
    return expose(v);
  }

  void set_key(NP t, const Info &v) {
    expose(t);
    t->info = move(v);
    update(t);
  }

  void set_propagate_path(NP t, const Lazy &lazy) {
    expose(t);
    propagate_heavy(t, lazy);
    push(t);
    update(t);
  }

  void set_propagate_path(NP u, NP v, const Lazy &lazy) {
    evert(u);
    set_propagate_path(v, lazy);
  }

  void set_propagate_all(NP t, const Lazy &lazy) {
    expose(t);
    propagate_all(t, lazy);
    push(t);
    update(t);
  }

  void set_propagate_subtree(NP t, const Lazy &lazy) {
    expose(t);
    NP l = t->l;
    t->l = nullptr;
    propagate_all(t, lazy);
    push(t);
    t->l = l;
    update(t);
  }

  void set_propagate_subtree(NP r, NP u, const Lazy &lazy) {
    evert(r);
    set_propagate_subtree(u, lazy);
  }

  const Path &query(NP u) {
    evert(u);
    return u->sum;
  }

  const Path &query_path(NP u) {
    expose(u);
    return u->sum;
  }

  const Path &query_path(NP u, NP v) {
    evert(u);
    return query_path(v);
  }

  Path query_subtree(NP u) {
    expose(u);
    NP l = u->l;
    u->l = nullptr;
    update(u);
    auto ret = u->sum;
    u->l = l;
    update(u);
    return ret;
  }

  Path query_subtree(NP r, NP u) {
    evert(r);
    return query_subtree(u);
  }
};

/*
struct TreeDPInfo {
  struct Lazy {
    static constexpr Lazy id() {}
    void propagate(const Lazy &p) {}
  };
  struct Point {
    void propagate(const Lazy &p) {}
  };
  struct Path {
    void propagate(const Lazy& p) {}
    void propagate_light(const Lazy& p) {}
  };
  struct Info {
    void propagate(const Lazy& p) {}
  };
  static Path vertex(const Info& u) {}
  static Path add_vertex(const Point& d, const Info& u) {}
  static Point add_edge(const Path& d) {}
  static Point rake(const Point& l, const Point& r) {}
  static Path compress(const Path& p, const Path& c) {}
};
*/

#line 1 "structure/dynamic-tree/lazy-top-tree.hpp"
template <typename TreeDPInfo>
struct LazySplayTreeForDashedEdge {
  using Lazy = typename TreeDPInfo::Lazy;
  using Point = typename TreeDPInfo::Point;
  struct Node {
    Node *l, *r, *p;
    Point key, sum;
    Lazy lazy, lbuf;

    explicit Node(const Point &key)
        : key(key),
          sum(key),
          lazy(Lazy::id()),
          lbuf(Lazy::id()),
          l(nullptr),
          r(nullptr),
          p(nullptr) {}
  };

  LazySplayTreeForDashedEdge() = default;

  using NP = Node *;

  void rotr(NP t) const {
    NP x = t->p, y = x->p;
    push(x), push(t);
    if ((x->l = t->r)) t->r->p = x;
    t->r = x, x->p = t;
    update(x), update(t);
    if ((t->p = y)) {
      if (y->l == x) y->l = t;
      if (y->r == x) y->r = t;
    }
  }

  void rotl(NP t) const {
    NP x = t->p, y = x->p;
    push(x), push(t);
    if ((x->r = t->l)) t->l->p = x;
    t->l = x, x->p = t;
    update(x), update(t);
    if ((t->p = y)) {
      if (y->l == x) y->l = t;
      if (y->r == x) y->r = t;
    }
  }

  void update(NP t) const {
    t->sum = t->key;
    if (t->l) t->sum = TreeDPInfo::rake(t->sum, t->l->sum);
    if (t->r) t->sum = TreeDPInfo::rake(t->sum, t->r->sum);
  }

  NP get_right(NP t) const {
    while (t->r) t = t->r;
    return t;
  }

  NP alloc(const Point &v) const {
    auto t = new Node(v);
    update(t);
    return t;
  }

  void propagate(NP t, const Lazy &lazy) const {
    t->key.propagate(lazy);
    t->sum.propagate(lazy);
    t->lbuf.propagate(lazy);
    t->lazy.propagate(lazy);
  }

  void push(NP t) const {
    if (t->l) propagate(t->l, t->lazy);
    if (t->r) propagate(t->r, t->lazy);
    t->lazy = Lazy::id();
  }

  void splay(NP t) const {
    push(t);
    while (t->p) {
      NP q = t->p;
      if (!q->p) {
        if (q->l == t)
          rotr(t);
        else
          rotl(t);
      } else {
        NP r = q->p;
        if (r->l == q) {
          if (q->l == t)
            rotr(q), rotr(t);
          else
            rotl(t), rotr(t);
        } else {
          if (q->r == t)
            rotl(q), rotl(t);
          else
            rotr(t), rotl(t);
        }
      }
    }
  }

  NP insert(NP t, const Point &v) const {
    if (not t) {
      t = alloc(v);
      return t;
    } else {
      NP cur = get_right(t), z = alloc(v);
      splay(cur);
      z->p = cur;
      cur->r = z;
      update(cur);
      splay(z);
      return z;
    }
  }

  NP erase(NP t) const {
    splay(t);
    NP x = t->l, y = t->r;
    delete t;
    if (not x) {
      t = y;
      if (t) t->p = nullptr;
    } else if (not y) {
      t = x;
      t->p = nullptr;
    } else {
      x->p = nullptr;
      t = get_right(x);
      splay(t);
      t->r = y;
      y->p = t;
      update(t);
    }
    return t;
  }
};

template <typename TreeDPInfo>
struct LazyTopTree {
  using Lazy = typename TreeDPInfo::Lazy;
  using Path = typename TreeDPInfo::Path;
  using Info = typename TreeDPInfo::Info;

 private:
  struct Node {
    Node *l, *r, *p;
    Info info;
    Path sum, mus;
    typename LazySplayTreeForDashedEdge<TreeDPInfo>::Node *light, *belong;
    bool rev;
    Lazy hlazy, llazy;

    bool is_root() const { return not p or (p->l != this and p->r != this); }

    Node(const Info &info)
        : info(info),
          l(nullptr),
          r(nullptr),
          p(nullptr),
          rev(false),
          light(nullptr),
          belong(nullptr),
          hlazy(Lazy::id()),
          llazy(Lazy::id()) {}
  };

 public:
  using NP = Node *;
  const LazySplayTreeForDashedEdge<TreeDPInfo> splay_tree;

 private:
  void toggle(NP t) {
    swap(t->l, t->r);
    swap(t->sum, t->mus);
    t->rev ^= true;
  }

  void rotr(NP t) {
    NP x = t->p, y = x->p;
    push(x), push(t);
    if ((x->l = t->r)) t->r->p = x;
    t->r = x, x->p = t;
    update(x), update(t);
    if ((t->p = y)) {
      if (y->l == x) y->l = t;
      if (y->r == x) y->r = t;
    }
  }

  void rotl(NP t) {
    NP x = t->p, y = x->p;
    push(x), push(t);
    if ((x->r = t->l)) t->l->p = x;
    t->l = x, x->p = t;
    update(x), update(t);
    if ((t->p = y)) {
      if (y->l == x) y->l = t;
      if (y->r == x) y->r = t;
    }
  }

  void propagate_heavy(NP t, const Lazy &hlazy) {
    t->hlazy.propagate(hlazy);
    t->info.propagate(hlazy);
    t->sum.propagate(hlazy);
    t->mus.propagate(hlazy);
  }

  void propagate_light(NP t, const Lazy &llazy) {
    t->llazy.propagate(llazy);
    t->sum.propagate_light(llazy);
    t->mus.propagate_light(llazy);
  }

  void propagate_all(NP t, const Lazy &lazy) {
    propagate_heavy(t, lazy);
    propagate_light(t, lazy);
  }

 public:
  LazyTopTree() : splay_tree{} {}

  void push(NP t) {
    if (t->rev) {
      if (t->l) toggle(t->l);
      if (t->r) toggle(t->r);
      t->rev = false;
    }
    {
      if (t->l) {
        propagate_heavy(t->l, t->hlazy);
        propagate_light(t->l, t->llazy);
      }
      if (t->r) {
        propagate_heavy(t->r, t->hlazy);
        propagate_light(t->r, t->llazy);
      }
      if (t->light) {
        splay_tree.propagate(t->light, t->llazy);
      }
      t->hlazy = Lazy::id();
      t->llazy = Lazy::id();
    }
  }

  void push_rev(NP t) {
    if (t->rev) {
      if (t->l) toggle(t->l);
      if (t->r) toggle(t->r);
      t->rev = false;
    }
  }

  void update(NP t) {
    Path key = t->light ? TreeDPInfo::add_vertex(t->light->sum, t->info)
                        : TreeDPInfo::vertex(t->info);
    t->sum = key;
    t->mus = key;
    if (t->l) {
      t->sum = TreeDPInfo::compress(t->l->sum, t->sum);
      t->mus = TreeDPInfo::compress(t->mus, t->l->mus);
    }
    if (t->r) {
      t->sum = TreeDPInfo::compress(t->sum, t->r->sum);
      t->mus = TreeDPInfo::compress(t->r->mus, t->mus);
    }
  }

  void splay(NP t) {
    push(t);
    {
      NP rot = t;
      while (not rot->is_root()) rot = rot->p;
      t->belong = rot->belong;
      if (t != rot) rot->belong = nullptr;
    }
    while (not t->is_root()) {
      NP q = t->p;
      if (q->is_root()) {
        push_rev(q), push_rev(t);
        if (q->l == t)
          rotr(t);
        else
          rotl(t);
      } else {
        NP r = q->p;
        push_rev(r), push_rev(q), push_rev(t);
        if (r->l == q) {
          if (q->l == t)
            rotr(q), rotr(t);
          else
            rotl(t), rotr(t);
        } else {
          if (q->r == t)
            rotl(q), rotl(t);
          else
            rotr(t), rotl(t);
        }
      }
    }
  }

  NP expose(NP t) {
    NP rp = nullptr;
    for (NP cur = t; cur; cur = cur->p) {
      splay(cur);
      if (cur->r) {
        cur->light =
            splay_tree.insert(cur->light, TreeDPInfo::add_edge(cur->r->sum));
        cur->r->belong = cur->light;
      }
      cur->r = rp;
      if (cur->r) {
        splay_tree.splay(cur->r->belong);
        propagate_all(cur->r, cur->r->belong->lbuf);
        push(cur->r);
        cur->light = splay_tree.erase(cur->r->belong);
      }
      update(cur);
      rp = cur;
    }
    splay(t);
    return rp;
  }

  void link(NP child, NP parent) {
    if (is_connected(child, parent)) {
      throw runtime_error(
          "child and parent must be different connected components");
    }
    if (child->l) {
      throw runtime_error("child must be root");
    }
    child->p = parent;
    parent->r = child;
    update(parent);
  }

  void cut(NP child) {
    expose(child);
    NP parent = child->l;
    if (not parent) {
      throw runtime_error("child must not be root");
    }
    child->l = nullptr;
    parent->p = nullptr;
    update(child);
  }

  void evert(NP t) {
    expose(t);
    toggle(t);
    push(t);
  }

  NP alloc(const Info &v) {
    NP t = new Node(v);
    update(t);
    return t;
  }

  bool is_connected(NP u, NP v) {
    expose(u), expose(v);
    return u == v or u->p;
  }

  vector<NP> build(vector<Info> &vs) {
    vector<NP> nodes(vs.size());
    for (int i = 0; i < (int)vs.size(); i++) {
      nodes[i] = alloc(vs[i]);
    }
    return nodes;
  }

  NP lca(NP u, NP v) {
    if (not is_connected(u, v)) return nullptr;
    expose(u);
    return expose(v);
  }

  void set_key(NP t, const Info &v) {
    expose(t);
    t->info = move(v);
    update(t);
  }

  void set_propagate_path(NP t, const Lazy &lazy) {
    expose(t);
    propagate_heavy(t, lazy);
    push(t);
    update(t);
  }

  void set_propagate_path(NP u, NP v, const Lazy &lazy) {
    evert(u);
    set_propagate_path(v, lazy);
  }

  void set_propagate_all(NP t, const Lazy &lazy) {
    expose(t);
    propagate_all(t, lazy);
    push(t);
    update(t);
  }

  void set_propagate_subtree(NP t, const Lazy &lazy) {
    expose(t);
    NP l = t->l;
    t->l = nullptr;
    propagate_all(t, lazy);
    push(t);
    t->l = l;
    update(t);
  }

  void set_propagate_subtree(NP r, NP u, const Lazy &lazy) {
    evert(r);
    set_propagate_subtree(u, lazy);
  }

  const Path &query(NP u) {
    evert(u);
    return u->sum;
  }

  const Path &query_path(NP u) {
    expose(u);
    return u->sum;
  }

  const Path &query_path(NP u, NP v) {
    evert(u);
    return query_path(v);
  }

  Path query_subtree(NP u) {
    expose(u);
    NP l = u->l;
    u->l = nullptr;
    update(u);
    auto ret = u->sum;
    u->l = l;
    update(u);
    return ret;
  }

  Path query_subtree(NP r, NP u) {
    evert(r);
    return query_subtree(u);
  }
};

/*
struct TreeDPInfo {
  struct Lazy {
    static constexpr Lazy id() {}
    void propagate(const Lazy &p) {}
  };
  struct Point {
    void propagate(const Lazy &p) {}
  };
  struct Path {
    void propagate(const Lazy& p) {}
    void propagate_light(const Lazy& p) {}
  };
  struct Info {
    void propagate(const Lazy& p) {}
  };
  static Path vertex(const Info& u) {}
  static Path add_vertex(const Point& d, const Info& u) {}
  static Point add_edge(const Path& d) {}
  static Point rake(const Point& l, const Point& r) {}
  static Path compress(const Path& p, const Path& c) {}
};
*/

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