説明

$2$ 次元の累積和。前計算として事前に累積和をとることで, 矩形和を $O(1)$ で求めることが出来る。

計算量

  • 構築 $O(WH)$
  • クエリ $O(1)$

実装例

  • add($x$, $y$, $z$): 要素 $($x$, $y$)$ に値 $z$ を加える
  • build(): 累積和を構築する
  • query($sx$, $sy$, $gx$, $gy$): 左下 $(sx, sy)$, 右上 $(gx, gy)$ の矩形内の和を求める(半開区間で与えることに注意すること。具体的には列 $gx$ と行 $gy$ は含まない)
template< class T >
struct CumulativeSum2D {
  vector< vector< T > > data;

  CumulativeSum2D(int W, int H) : data(W + 1, vector< int >(H + 1, 0)) {}

  void add(int x, int y, T z) {
    ++x, ++y;
    if(x >= data.size() || y >= data[0].size()) return;
    data[x][y] += z;
  }

  void build() {
    for(int i = 1; i < data.size(); i++) {
      for(int j = 1; j < data[i].size(); j++) {
        data[i][j] += data[i][j - 1] + data[i - 1][j] - data[i - 1][j - 1];
      }
    }
  }

  T query(int sx, int sy, int gx, int gy) {
    return (data[gx][gy] - data[sx][gy] - data[gx][sy] + data[sx][sy]);
  }
};