説明

個数制限付きナップサック問題を解く。

$N$ を荷物の種類数, $W$ をナップサックの容量, $w_i$ を荷物の重さ, $m_i$ を荷物の個数, $v_i$ を荷物の価値とする。

この問題はスライド最大値を用いることで 「dp[重さの和]:= 価値の和の最大値」 を $O(NW)$ で解くことができる(a)。

またDPのkeyとvalueを入れ替えるテクも使えて, 「dp[価値の和]:= 重さの和の最小値」 を $O(N \sum {m_i v_i})$ で解ける。dp[$k$] が $W$ 以下となる最大の $k$ が答え(b)。

これらを解く実装例を、実装例1に示した。

また, がんばると $O(N^2 \max(v_i)^2)$ でも解ける。まず「dp[価値の和]:= 重さの和の最小値」をある程度の大きさ($N \max(v_i)^2$)まで (b) のDPを使って求める。残りの分は, 効率が良い順(価値/重さが大きい順)に貪欲にとってもいいことが示せて, なんかできる(c)。 実装例2に示した。

実装例1

$O(NW)$

  • knapsack_limitations($w$, $m$, $v$, $W$, $NG$): 荷物のそれぞれの重さ, 個数, 価値がそれぞれ $w, m, v$ で, 重さの和が $W$ 以下のすべてについて価値の和の最大値を返す(a)。その重さに到達できないとき $NG$ が格納される。第 $6$ 引数に less を与えると最小値の場合を解く(b)。
template< typename T, typename Compare = greater< T > >
vector< T > knapsack_limitations(const vector< int > &w, const vector< int > &m, const vector< T > &v,
                                 const int &W, const T &NG, const Compare &comp = Compare()) {
  const int N = (int) w.size();
  vector< T > dp(W + 1, NG), deqv(W + 1);
  dp[0] = T();
  vector< int > deq(W + 1);
  for(int i = 0; i < N; i++) {
    for(int a = 0; a < w[i]; a++) {
      int s = 0, t = 0;
      for(int j = 0; w[i] * j + a <= W; j++) {
        if(dp[w[i] * j + a] != NG) {
          auto val = dp[w[i] * j + a] - j * v[i];
          while(s < t && comp(val, deqv[t - 1])) --t;
          deq[t] = j;
          deqv[t++] = val;
        }
        if(s < t) {
          dp[j * w[i] + a] = deqv[s] + j * v[i];
          if(deq[s] == j - m[i]) ++s;
        }
      }
    }
  }
  return dp;
}

検証1

AOJ DPL_1_G 個数制限付きナップザック問題

#define PROBLEM "http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=DPL_1_G"

#include "../../template/template.cpp"

#include "../knapsack-limitations.cpp"

int main() {
  int N, W;
  cin >> N >> W;
  vector< int > v(N), w(N), m(N);
  for(int i = 0; i < N; i++) {
    cin >> v[i] >> w[i] >> m[i];
  }
  auto ret = knapsack_limitations(w, m, v, W, -1);
  cout << *max_element(begin(ret), end(ret)) << endl;
}

実装例2

$O(N^2 \max(v_i)^2)$

  • knapsack_limitations($w$, $m$, $v$, $W$, $NG$): 荷物のそれぞれの重さ, 個数, 価 値がそれぞれ $w, m, v$ で, 重さの和が $W$ 以下のすべてについて価値の和の最大値を返す(c)。
template< typename T >
T knapsack_limitations(const vector< T > &w, const vector< T > &m, const vector< int > &v,
                       const T &W) {
  const int N = (int) w.size();
  auto v_max = *max_element(begin(v), end(v));
  if(v_max == 0) return 0;
  vector< int > ma(N);
  vector< T > mb(N);
  for(int i = 0; i < N; i++) {
    ma[i] = min< T >(m[i], v_max - 1);
    mb[i] = m[i] - ma[i];
  }
  T sum = 0;
  for(int i = 0; i < N; i++) sum += ma[i] * v[i];
  auto dp = knapsack_limitations(v, ma, w, sum, T(-1), less<>());
  vector< int > ord(N);
  iota(begin(ord), end(ord), 0);
  sort(begin(ord), end(ord), [&](int a, int b) {
    return v[a] * w[b] > v[b] * w[a];
  });
  T ret = T();
  for(int i = 0; i < dp.size(); i++) {
    if(dp[i] > W || dp[i] == -1) continue;
    T rest = W - dp[i], cost = i;
    for(auto &p : ord) {
      auto get = min(mb[p], rest / w[p]);
      if(get == 0) break;
      cost += get * v[p];
      rest -= get * w[p];
    }
    ret = max(ret, cost);
  }
  return ret;
}

検証2

AOJ DPL_1_I 個数制限付きナップザック問題II

#define PROBLEM "http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=DPL_1_I"

#include "../../template/template.cpp"

#include "../knapsack-limitations.cpp"

#include "../knapsack-limitations-2.cpp"

int main() {
  int N;
  int64 W;
  cin >> N >> W;
  vector< int > v(N);
  vector< int64 > w(N), m(N);
  for(int i = 0; i < N; i++) {
    cin >> v[i] >> w[i] >> m[i];
  }
  cout << knapsack_limitations(w, m, v, W) << endl;
}