説明

最大流を求める。最短の増加パスを探して、そこにフローを流していくことを繰り返す。そのような経路がなくなったら残余パスでもう一度それを繰り返す。それでも、流せなくなったら終了する。

計算量

  • $O(E V^2)$

ただしほとんどの場合、実際の計算量より高速に動作する。

実装例

  • Dinic($V$):= 頂点数 $V$ で初期化する。
  • add_edge($from$, $to$, $cap$):= 頂点 $from$ から $to$ に容量 $cap$ の辺を張る。
  • max_flow($s$, $t$, $f$):= 頂点 $s$ から $t$ に最大流を流し、その流量を返す。
template< typename flow_t >
struct Dinic {
  const flow_t INF;

  struct edge {
    int to;
    flow_t cap;
    int rev;
    bool isrev;
    int idx;
  };

  vector< vector< edge > > graph;
  vector< int > min_cost, iter;

  Dinic(int V) : INF(numeric_limits< flow_t >::max()), graph(V) {}

  void add_edge(int from, int to, flow_t cap, int idx = -1) {
    graph[from].emplace_back((edge) {to, cap, (int) graph[to].size(), false, idx});
    graph[to].emplace_back((edge) {from, 0, (int) graph[from].size() - 1, true, idx});
  }

  bool bfs(int s, int t) {
    min_cost.assign(graph.size(), -1);
    queue< int > que;
    min_cost[s] = 0;
    que.push(s);
    while(!que.empty() && min_cost[t] == -1) {
      int p = que.front();
      que.pop();
      for(auto &e : graph[p]) {
        if(e.cap > 0 && min_cost[e.to] == -1) {
          min_cost[e.to] = min_cost[p] + 1;
          que.push(e.to);
        }
      }
    }
    return min_cost[t] != -1;
  }

  flow_t dfs(int idx, const int t, flow_t flow) {
    if(idx == t) return flow;
    for(int &i = iter[idx]; i < graph[idx].size(); i++) {
      edge &e = graph[idx][i];
      if(e.cap > 0 && min_cost[idx] < min_cost[e.to]) {
        flow_t d = dfs(e.to, t, min(flow, e.cap));
        if(d > 0) {
          e.cap -= d;
          graph[e.to][e.rev].cap += d;
          return d;
        }
      }
    }
    return 0;
  }

  flow_t max_flow(int s, int t) {
    flow_t flow = 0;
    while(bfs(s, t)) {
      iter.assign(graph.size(), 0);
      flow_t f = 0;
      while((f = dfs(s, t, INF)) > 0) flow += f;
    }
    return flow;
  }

  void output() {
    for(int i = 0; i < graph.size(); i++) {
      for(auto &e : graph[i]) {
        if(e.isrev) continue;
        auto &rev_e = graph[e.to][e.rev];
        cout << i << "->" << e.to << " (flow: " << rev_e.cap << "/" << e.cap + rev_e.cap << ")" << endl;
      }
    }
  }
};

検証

AOJ GRL_6_A 最大流

#define PROBLEM "http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=GRL_6_A"

#include "../../template/template.cpp"
#include "../template.cpp"

#include "../dinic.cpp"

int main() {
  int V, E;
  scanf("%d %d", &V, &E);
  Dinic< int > g(V);
  for(int i = 0; i < E; i++) {
    int a, b, c;
    scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
    g.add_edge(a, b, c);
  }
  printf("%d\n", g.max_flow(0, V - 1));
}