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橋/関節点(LowLink)
説明
橋や関節点などを効率的に求める際に有効なアルゴリズム。
グラフをDFSして, ord[$idx$] := DFS で頂点に訪れた順番, low[$idx$] := 頂点 $idx$ からDFS木の葉方向の辺を $0$ 回以上, 後退辺を $1$ 回以下通って到達可能な頂点の $ord$ の最小値 を各頂点について求める。
ある頂点 $u$ が関節点であるとき, DFS木の根については子が $2$ つ以上, それ以外の頂点については 頂点 $u$ のある子 $v$ について ord[$u$] $\le$ low[$v$] を満たす。
ある辺 $(u, v)$ が橋であるとき, ord[$u$] $\lt$ low[$v$] を満たす。
計算量
- $O(V)$
実装例
- LowLink($g$):= グラフ $g$ で初期化する。
- build():= グラフ $g$ に対する LowLink を構築する。構築後, articulation には関節点, bridge には橋が追加される。非連結でもOK。
template< typename G >
struct LowLink {
const G &g;
vector< int > used, ord, low;
vector< int > articulation;
vector< pair< int, int > > bridge;
LowLink(const G &g) : g(g) {}
int dfs(int idx, int k, int par) {
used[idx] = true;
ord[idx] = k++;
low[idx] = ord[idx];
bool is_articulation = false;
int cnt = 0;
for(auto &to : g[idx]) {
if(!used[to]) {
++cnt;
k = dfs(to, k, idx);
low[idx] = min(low[idx], low[to]);
is_articulation |= ~par && low[to] >= ord[idx];
if(ord[idx] < low[to]) bridge.emplace_back(minmax(idx, (int) to));
} else if(to != par) {
low[idx] = min(low[idx], ord[to]);
}
}
is_articulation |= par == -1 && cnt > 1;
if(is_articulation) articulation.push_back(idx);
return k;
}
virtual void build() {
used.assign(g.size(), 0);
ord.assign(g.size(), 0);
low.assign(g.size(), 0);
int k = 0;
for(int i = 0; i < g.size(); i++) {
if(!used[i]) k = dfs(i, k, -1);
}
}
};
検証
#define PROBLEM "http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=GRL_3_A"
#include "../../template/template.cpp"
#include "../template.cpp"
#include "../lowlink.cpp"
int main() {
int V, E;
scanf("%d %d", &V, &E);
UnWeightedGraph g(V);
for(int i = 0; i < E; i++) {
int x, y;
scanf("%d %d", &x, &y);
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
LowLink< UnWeightedGraph > lowlink(g);
lowlink.build();
sort(lowlink.articulation.begin(), lowlink.articulation.end());
for(auto &v : lowlink.articulation) printf("%d\n", v);
}
#define PROBLEM "http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=GRL_3_B"
#include "../../template/template.cpp"
#include "../template.cpp"
#include "../lowlink.cpp"
int main() {
int V, E;
scanf("%d %d", &V, &E);
UnWeightedGraph g(V);
for(int i = 0; i < E; i++) {
int x, y;
scanf("%d %d", &x, &y);
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
LowLink< UnWeightedGraph > lowlink(g);
lowlink.build();
sort(lowlink.bridge.begin(), lowlink.bridge.end());
for(auto &p : lowlink.bridge) printf("%d %d\n", p.first, p.second);
}