説明

最小費用流を最短路反復で解くアルゴリズム。始点から終点までの重みの最短路を求め、そこに流せる限り流す。これを流したい分だけ流しきるまで繰り返す。最短路の計算は、ポテンシャル $h$ を用いて負辺がないように変換して Dijkstra法 で求める。

計算量

  • $O(FE \log V)$

実装例

  • PrimalDual($V$):= 頂点数 $V$ で初期化する。
  • add_edge($from$, $to$, $cap$, $cost$):= 頂点 $from$ から $to$ に容量 $cap$, コスト $cost$ の辺を張る。
  • min_cost_flow($s$, $t$, $f$):= 頂点 $s$ から $t$ に流量 $f$ の最小費用流を流す。流せた場合はそのコスト, 流せない場合は $-1$ を返す。
template< typename flow_t, typename cost_t >
struct PrimalDual {
  const cost_t INF;

  struct edge {
    int to;
    flow_t cap;
    cost_t cost;
    int rev;
    bool isrev;
  };
  vector< vector< edge > > graph;
  vector< cost_t > potential, min_cost;
  vector< int > prevv, preve;

  PrimalDual(int V) : graph(V), INF(numeric_limits< cost_t >::max()) {}

  void add_edge(int from, int to, flow_t cap, cost_t cost) {
    graph[from].emplace_back((edge) {to, cap, cost, (int) graph[to].size(), false});
    graph[to].emplace_back((edge) {from, 0, -cost, (int) graph[from].size() - 1, true});
  }

  cost_t min_cost_flow(int s, int t, flow_t f) {
    int V = (int) graph.size();
    cost_t ret = 0;
    using Pi = pair< cost_t, int >;
    priority_queue< Pi, vector< Pi >, greater< Pi > > que;
    potential.assign(V, 0);
    preve.assign(V, -1);
    prevv.assign(V, -1);

    while(f > 0) {
      min_cost.assign(V, INF);
      que.emplace(0, s);
      min_cost[s] = 0;
      while(!que.empty()) {
        Pi p = que.top();
        que.pop();
        if(min_cost[p.second] < p.first) continue;
        for(int i = 0; i < graph[p.second].size(); i++) {
          edge &e = graph[p.second][i];
          cost_t nextCost = min_cost[p.second] + e.cost + potential[p.second] - potential[e.to];
          if(e.cap > 0 && min_cost[e.to] > nextCost) {
            min_cost[e.to] = nextCost;
            prevv[e.to] = p.second, preve[e.to] = i;
            que.emplace(min_cost[e.to], e.to);
          }
        }
      }
      if(min_cost[t] == INF) return -1;
      for(int v = 0; v < V; v++) potential[v] += min_cost[v];
      flow_t addflow = f;
      for(int v = t; v != s; v = prevv[v]) {
        addflow = min(addflow, graph[prevv[v]][preve[v]].cap);
      }
      f -= addflow;
      ret += addflow * potential[t];
      for(int v = t; v != s; v = prevv[v]) {
        edge &e = graph[prevv[v]][preve[v]];
        e.cap -= addflow;
        graph[v][e.rev].cap += addflow;
      }
    }
    return ret;
  }

  void output() {
    for(int i = 0; i < graph.size(); i++) {
      for(auto &e : graph[i]) {
        if(e.isrev) continue;
        auto &rev_e = graph[e.to][e.rev];
        cout << i << "->" << e.to << " (flow: " << rev_e.cap << "/" << rev_e.cap + e.cap << ")" << endl;
      }
    }
  }
};

検証

AOJ GRL_6_B 最小費用流

#define PROBLEM "http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=GRL_6_B"

#include "../../template/template.cpp"
#include "../template.cpp"

#include "../primal-dual.cpp"


int main() {
  int V, E, F;
  scanf("%d %d %d", &V, &E, &F);
  PrimalDual< int, int > g(V);
  for(int i = 0; i < E; i++) {
    int a, b, c, d;
    scanf("%d %d %d %d", &a, &b, &c, &d);
    g.add_edge(a, b, c, d);
  }
  printf("%d\n", g.min_cost_flow(0, V - 1, F));
}