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平衡二分探索木(RBST)
説明
RBST(Randomized Binary Search Tree)は平衡二分探索木の一種。ランダムなノードを根にして期待値的に木の高さを $O(\log N)$ に抑える。
計算量
- 構築 $O(N)$
- クエリ $O(\log N)$
実装例
- RandomizedBinarySearchTree($n$, $f$, $M1$):= ノードを $n$ 個用意する。ここで $f$ は2つの区間の要素をマージする二項演算, $M1$ はモノイドの単位元である。
- RandomizedBinarySearchTree($n$, $f$, $g$, $h$, $M1$, $OM0$):= ノードを $n$ 個用意する。ここで $f$ は2つの区間の要素をマージする二項演算, $g$ は要素と作用素をマージする二項演算(第三引数は対応する区間の長さ), $h$ は作用素同士をマージする二項演算, $M1$ はモノイドの単位元, $OM0$ は作用素の単位元である。
- merge($l$, $r$):= 木 $l$ と木 $r$ を併合する。
- split($t$, $k$):= 木 $t$ を $[0, k)[k, n)$ で分割する。
- build($v$):= 配列 $v$ をもとに木を構築する($O(n)$)。
- dump($r$):= 木 $r$ の各ノードを通りがけ順に格納したものを返す($O(n)$)。
- insert($t$, $k$, $v$):= 木 $t$ の位置 $k$ にノード $v$ を挿入する。
- erase($t$, $k$):= 木 $t$ の位置 $k$ のノードを削除する。
- query($t$, $l$, $r$):= 木 $t$ の区間 $[l, r)$ の値を二項演算した結果を返す。
- set_propagate($t$, $a$, $b$, $p$):= 木 $t$ の区間 $[a, b)$ に作用素 $p$ を適用する。
- set_element($t$, $k$, $x$):= 木 $t$ の $k$ 番目の値を $x$ に変更する。
- size($t$):= 木 $t$ のノード数を返す。
- makeset():= 空木を返す。
template< class Monoid, class OperatorMonoid = Monoid >
struct RandomizedBinarySearchTree {
using F = function< Monoid(Monoid, Monoid) >;
using G = function< Monoid(Monoid, OperatorMonoid) >;
using H = function< OperatorMonoid(OperatorMonoid, OperatorMonoid) >;
using P = function< OperatorMonoid(OperatorMonoid, int) >;
inline int xor128() {
static int x = 123456789;
static int y = 362436069;
static int z = 521288629;
static int w = 88675123;
int t;
t = x ^ (x << 11);
x = y;
y = z;
z = w;
return w = (w ^ (w >> 19)) ^ (t ^ (t >> 8));
}
struct Node {
Node *l, *r;
int cnt;
Monoid key, sum;
OperatorMonoid lazy;
Node() = default;
Node(const Monoid &k, const OperatorMonoid &p) : cnt(1), key(k), sum(k), lazy(p), l(nullptr), r(nullptr) {}
};
vector< Node > pool;
int ptr;
const Monoid M1;
const OperatorMonoid OM0;
const F f;
const G g;
const H h;
const P p;
RandomizedBinarySearchTree(int sz, const F &f, const Monoid &M1) :
pool(sz), ptr(0), f(f), g(G()), h(H()), p(P()), M1(M1), OM0(OperatorMonoid()) {}
RandomizedBinarySearchTree(int sz, const F &f, const G &g, const H &h, const P &p,
const Monoid &M1, const OperatorMonoid &OM0) :
pool(sz), ptr(0), f(f), g(g), h(h), p(p), M1(M1), OM0(OM0) {}
inline Node *alloc(const Monoid &key) { return &(pool[ptr++] = Node(key, OM0)); }
virtual Node *clone(Node *t) { return t; }
inline int count(const Node *t) { return t ? t->cnt : 0; }
inline Monoid sum(const Node *t) { return t ? t->sum : M1; }
inline Node *update(Node *t) {
t->cnt = count(t->l) + count(t->r) + 1;
t->sum = f(f(sum(t->l), t->key), sum(t->r));
return t;
}
Node *propagate(Node *t) {
t = clone(t);
if(t->lazy != OM0) {
t->key = g(t->key, p(t->lazy, 1));
if(t->l) {
t->l = clone(t->l);
t->l->lazy = h(t->l->lazy, t->lazy);
t->l->sum = g(t->l->sum, p(t->lazy, count(t->l)));
}
if(t->r) {
t->r = clone(t->r);
t->r->lazy = h(t->r->lazy, t->lazy);
t->r->sum = g(t->r->sum, p(t->lazy, count(t->r)));
}
t->lazy = OM0;
}
return update(t);
}
Node *merge(Node *l, Node *r) {
if(!l || !r) return l ? l : r;
if(xor128() % (l->cnt + r->cnt) < l->cnt) {
l = propagate(l);
l->r = merge(l->r, r);
return update(l);
} else {
r = propagate(r);
r->l = merge(l, r->l);
return update(r);
}
}
pair< Node *, Node * > split(Node *t, int k) {
if(!t) return {t, t};
t = propagate(t);
if(k <= count(t->l)) {
auto s = split(t->l, k);
t->l = s.second;
return {s.first, update(t)};
} else {
auto s = split(t->r, k - count(t->l) - 1);
t->r = s.first;
return {update(t), s.second};
}
}
Node *build(int l, int r, const vector< Monoid > &v) {
if(l + 1 >= r) return alloc(v[l]);
return merge(build(l, (l + r) >> 1, v), build((l + r) >> 1, r, v));
}
Node *build(const vector< Monoid > &v) {
ptr = 0;
return build(0, (int) v.size(), v);
}
void dump(Node *r, typename vector< Monoid >::iterator &it) {
if(!r) return;
r = propagate(r);
dump(r->l, it);
*it = r->key;
dump(r->r, ++it);
}
vector< Monoid > dump(Node *r) {
vector< Monoid > v((size_t) count(r));
auto it = begin(v);
dump(r, it);
return v;
}
string to_string(Node *r) {
auto s = dump(r);
string ret;
for(int i = 0; i < s.size(); i++) ret += ", ";
return (ret);
}
void insert(Node *&t, int k, const Monoid &v) {
auto x = split(t, k);
t = merge(merge(x.first, alloc(v)), x.second);
}
void erase(Node *&t, int k) {
auto x = split(t, k);
t = merge(x.first, split(x.second, 1).second);
}
Monoid query(Node *&t, int a, int b) {
auto x = split(t, a);
auto y = split(x.second, b - a);
auto ret = sum(y.first);
t = merge(x.first, merge(y.first, y.second));
return ret;
}
void set_propagate(Node *&t, int a, int b, const OperatorMonoid &p) {
auto x = split(t, a);
auto y = split(x.second, b - a);
y.first->lazy = h(y.first->lazy, p);
t = merge(x.first, merge(propagate(y.first), y.second));
}
void set_element(Node *&t, int k, const Monoid &x) {
t = propagate(t);
if(k < count(t->l)) set_element(t->l, k, x);
else if(k == count(t->l)) t->key = t->sum = x;
else set_element(t->r, k - count(t->l) - 1, x);
t = update(t);
}
int size(Node *t) {
return count(t);
}
bool empty(Node *t) {
return !t;
}
Node *makeset() {
return nullptr;
}
};検証
AtCoder SoundHound Programming Contest 2018 Masters Tournament 本戦 E - Hash Swapping
using int64 = long long;
int64 power[234567];
const int LIM = 1000000;
int main() {
int N, M;
string S[20];
power[0] = 1;
for(int i = 0; i < 234566; i++) power[i + 1] = 1LL * power[i] * 1000000 % mod;
cin >> N >> M;
for(int i = 0; i < M; i++) cin >> S[i];
vector< vector< pair< int, int > > > dat(M, vector< pair< int, int > >(N));
for(int i = 0; i < M; i++) {
for(int j = 0; j < N; j++) {
dat[i][j].first = S[i][j] - 'a';
dat[i][j].first++;
dat[i][j].second = 1;
}
}
using pi = pair< int, int >;
auto F = [&](pi x, pi y) {
return pi((1LL * y.first * power[x.second] + x.first % mod) % mod, x.second + y.second);
};
vector< RandomizedBinarySearchTree< pi > >
beet(M, RandomizedBinarySearchTree< pi >(N, F, pi(0, 0)));
vector< RandomizedBinarySearchTree< pi >::Node * > root;
for(int i = 0; i < M; i++) root.push_back(beet[i].build(dat[i]));
int Q;
cin >> Q;
while(Q--) {
int T, A, B, C, D;
cin >> T >> A >> B >> C >> D;
--A, --B, --C;
if(T == 1) {
auto S = beet[A].split(root[A], D);
auto T = beet[A].split(S.first, C);
auto U = beet[B].split(root[B], D);
auto V = beet[B].split(U.first, C);
root[A] = beet[A].merge(T.first, beet[A].merge(V.second, S.second));
root[B] = beet[B].merge(V.first, beet[B].merge(T.second, U.second));
} else {
auto S = beet[A].split(root[A], D);
auto T = beet[A].split(S.first, C);
printf("%d\n", beet[A].sum(T.second).first);
root[A] = beet[A].merge(beet[A].merge(T.first, T.second), S.second);
}
}
}応用: Multiset, Set
既に実装した機能に加えて, lower_bound() などを実装することで Multisetや Set として利用することができる。
kth_element は k(0-indeed) 番目に小さい値を返す。
template< class T >
struct OrderedMultiSet : RandomizedBinarySearchTree< T >
{
using RBST = RandomizedBinarySearchTree< T >;
using Node = typename RBST::Node;
OrderedMultiSet(int sz) : RBST(sz, [&](T x, T y) { return x; }, T()) {}
T kth_element(Node *t, int k)
{
if(k < RBST::count(t->l)) return kth_element(t->l, k);
if(k == RBST::count(t->l)) return t->key;
return kth_element(t->r, k - RBST::count(t->l) - 1);
}
virtual void insert_key(Node *&t, const T &x)
{
RBST::insert(t, lower_bound(t, x), x);
}
void erase_key(Node *&t, const T &x)
{
if(!count(t, x)) return;
RBST::erase(t, lower_bound(t, x));
}
int count(Node *t, const T &x)
{
return upper_bound(t, x) - lower_bound(t, x);
}
int lower_bound(Node *t, const T &x)
{
if(!t) return 0;
if(x <= t->key) return lower_bound(t->l, x);
return lower_bound(t->r, x) + RBST::count(t->l) + 1;
}
int upper_bound(Node *t, const T &x)
{
if(!t) return 0;
if(x < t->key) return upper_bound(t->l, x);
return upper_bound(t->r, x) + RBST::count(t->l) + 1;
}
};
template< class T >
struct OrderedSet : OrderedMultiSet< T >
{
using SET = OrderedMultiSet< T >;
using RBST = typename SET::RBST;
using Node = typename RBST::Node;
OrderedSet(int sz) : OrderedMultiSet< T >(sz) {}
void insert_key(Node *&t, const T &x) override
{
if(SET::count(t, x)) return;
RBST::insert(t, SET::lower_bound(t, x), x);
}
};