説明

RBST(Randomized Binary Search Tree)は平衡二分探索木の一種。ランダムなノードを根にして期待値的に木の高さを $O(\log N)$ に抑える。

計算量

  • 構築 $O(N)$
  • クエリ $O(\log N)$

実装例

  • RandomizedBinarySearchTree($n$, $f$, $M1$):= ノードを $n$ 個用意する。ここで $f$ は2つの区間の要素をマージする二項演算, $M1$ はモノイドの単位元である。
  • RandomizedBinarySearchTree($n$, $f$, $g$, $h$, $M1$, $OM0$):= ノードを $n$ 個用意する。ここで $f$ は2つの区間の要素をマージする二項演算, $g$ は要素と作用素をマージする二項演算(第三引数は対応する区間の長さ), $h$ は作用素同士をマージする二項演算, $M1$ はモノイドの単位元, $OM0$ は作用素の単位元である。
  • merge($l$, $r$):= 木 $l$ と木 $r$ を併合する。
  • split($t$, $k$):= 木 $t$ を $[0, k)[k, n)$ で分割する。
  • build($v$):= 配列 $v$ をもとに木を構築する($O(n)$)。
  • dump($r$):= 木 $r$ の各ノードを通りがけ順に格納したものを返す($O(n)$)。
  • insert($t$, $k$, $v$):= 木 $t$ の位置 $k$ にノード $v$ を挿入する。
  • erase($t$, $k$):= 木 $t$ の位置 $k$ のノードを削除する。
  • query($t$, $l$, $r$):= 木 $t$ の区間 $[l, r)$ の値を二項演算した結果を返す。
  • set_propagate($t$, $a$, $b$, $p$):= 木 $t$ の区間 $[a, b)$ に作用素 $p$ を適用する。
  • set_element($t$, $k$, $x$):= 木 $t$ の $k$ 番目の値を $x$ に変更する。
  • size($t$):= 木 $t$ のノード数を返す。
  • makeset():= 空木を返す。
template< class Monoid, class OperatorMonoid = Monoid >
struct RandomizedBinarySearchTree {
  using F = function< Monoid(Monoid, Monoid) >;
  using G = function< Monoid(Monoid, OperatorMonoid) >;
  using H = function< OperatorMonoid(OperatorMonoid, OperatorMonoid) >;
  using P = function< OperatorMonoid(OperatorMonoid, int) >;

  inline int xor128() {
    static int x = 123456789;
    static int y = 362436069;
    static int z = 521288629;
    static int w = 88675123;
    int t;

    t = x ^ (x << 11);
    x = y;
    y = z;
    z = w;
    return w = (w ^ (w >> 19)) ^ (t ^ (t >> 8));
  }

  struct Node {
    Node *l, *r;
    int cnt;
    Monoid key, sum;
    OperatorMonoid lazy;

    Node() = default;

    Node(const Monoid &k, const OperatorMonoid &p) : cnt(1), key(k), sum(k), lazy(p), l(nullptr), r(nullptr) {}
  };

  vector< Node > pool;
  int ptr;

  const Monoid M1;
  const OperatorMonoid OM0;
  const F f;
  const G g;
  const H h;
  const P p;

  RandomizedBinarySearchTree(int sz, const F &f, const Monoid &M1) :
      pool(sz), ptr(0), f(f), g(G()), h(H()), p(P()), M1(M1), OM0(OperatorMonoid()) {}

  RandomizedBinarySearchTree(int sz, const F &f, const G &g, const H &h, const P &p,
                             const Monoid &M1, const OperatorMonoid &OM0) :
      pool(sz), ptr(0), f(f), g(g), h(h), p(p), M1(M1), OM0(OM0) {}

  inline Node *alloc(const Monoid &key) { return &(pool[ptr++] = Node(key, OM0)); }

  virtual Node *clone(Node *t) { return t; }

  inline int count(const Node *t) { return t ? t->cnt : 0; }

  inline Monoid sum(const Node *t) { return t ? t->sum : M1; }

  inline Node *update(Node *t) {
    t->cnt = count(t->l) + count(t->r) + 1;
    t->sum = f(f(sum(t->l), t->key), sum(t->r));
    return t;
  }

  Node *propagate(Node *t) {
    t = clone(t);
    if(t->lazy != OM0) {
      t->key = g(t->key, p(t->lazy, 1));
      if(t->l) {
        t->l = clone(t->l);
        t->l->lazy = h(t->l->lazy, t->lazy);
        t->l->sum = g(t->l->sum, p(t->lazy, count(t->l)));
      }
      if(t->r) {
        t->r = clone(t->r);
        t->r->lazy = h(t->r->lazy, t->lazy);
        t->r->sum = g(t->r->sum, p(t->lazy, count(t->r)));
      }
      t->lazy = OM0;
    }
    return update(t);
  }

  Node *merge(Node *l, Node *r) {
    if(!l || !r) return l ? l : r;
    if(xor128() % (l->cnt + r->cnt) < l->cnt) {
      l = propagate(l);
      l->r = merge(l->r, r);
      return update(l);
    } else {
      r = propagate(r);
      r->l = merge(l, r->l);
      return update(r);
    }
  }

  pair< Node *, Node * > split(Node *t, int k) {
    if(!t) return {t, t};
    t = propagate(t);
    if(k <= count(t->l)) {
      auto s = split(t->l, k);
      t->l = s.second;
      return {s.first, update(t)};
    } else {
      auto s = split(t->r, k - count(t->l) - 1);
      t->r = s.first;
      return {update(t), s.second};
    }
  }

  Node *build(int l, int r, const vector< Monoid > &v) {
    if(l + 1 >= r) return alloc(v[l]);
    return merge(build(l, (l + r) >> 1, v), build((l + r) >> 1, r, v));
  }

  Node *build(const vector< Monoid > &v) {
    ptr = 0;
    return build(0, (int) v.size(), v);
  }

  void dump(Node *r, typename vector< Monoid >::iterator &it) {
    if(!r) return;
    r = propagate(r);
    dump(r->l, it);
    *it = r->key;
    dump(r->r, ++it);
  }

  vector< Monoid > dump(Node *r) {
    vector< Monoid > v((size_t) count(r));
    auto it = begin(v);
    dump(r, it);
    return v;
  }

  string to_string(Node *r) {
    auto s = dump(r);
    string ret;
    for(int i = 0; i < s.size(); i++) ret += ", ";
    return (ret);
  }

  void insert(Node *&t, int k, const Monoid &v) {
    auto x = split(t, k);
    t = merge(merge(x.first, alloc(v)), x.second);
  }

  void erase(Node *&t, int k) {
    auto x = split(t, k);
    t = merge(x.first, split(x.second, 1).second);
  }

  Monoid query(Node *&t, int a, int b) {
    auto x = split(t, a);
    auto y = split(x.second, b - a);
    auto ret = sum(y.first);
    t = merge(x.first, merge(y.first, y.second));
    return ret;
  }

  void set_propagate(Node *&t, int a, int b, const OperatorMonoid &p) {
    auto x = split(t, a);
    auto y = split(x.second, b - a);
    y.first->lazy = h(y.first->lazy, p);
    t = merge(x.first, merge(propagate(y.first), y.second));
  }

  void set_element(Node *&t, int k, const Monoid &x) {
    t = propagate(t);
    if(k < count(t->l)) set_element(t->l, k, x);
    else if(k == count(t->l)) t->key = t->sum = x;
    else set_element(t->r, k - count(t->l) - 1, x);
    t = update(t);
  }


  int size(Node *t) {
    return count(t);
  }

  bool empty(Node *t) {
    return !t;
  }

  Node *makeset() {
    return nullptr;
  }
};

検証

AtCoder SoundHound Programming Contest 2018 Masters Tournament 本戦 E - Hash Swapping

using int64 = long long;

int64 power[234567];
const int LIM = 1000000;
 
int main() {
  int N, M;
  string S[20];
 
  power[0] = 1;
  for(int i = 0; i < 234566; i++) power[i + 1] = 1LL * power[i] * 1000000 % mod;
 
  cin >> N >> M;
  for(int i = 0; i < M; i++) cin >> S[i];
  vector< vector< pair< int, int > > > dat(M, vector< pair< int, int > >(N));
  for(int i = 0; i < M; i++) {
    for(int j = 0; j < N; j++) {
      dat[i][j].first = S[i][j] - 'a';
      dat[i][j].first++;
      dat[i][j].second = 1;
    }
  }
  using pi = pair< int, int >;
  auto F = [&](pi x, pi y) {
    return pi((1LL * y.first * power[x.second] + x.first % mod) % mod, x.second + y.second);
  };
  vector< RandomizedBinarySearchTree< pi > >
      beet(M, RandomizedBinarySearchTree< pi >(N, F, pi(0, 0)));
  vector< RandomizedBinarySearchTree< pi >::Node * > root;
  for(int i = 0; i < M; i++) root.push_back(beet[i].build(dat[i]));
  
  int Q;
  cin >> Q;
  while(Q--) {
    int T, A, B, C, D;
    cin >> T >> A >> B >> C >> D;
    --A, --B, --C;
    if(T == 1) {
      auto S = beet[A].split(root[A], D);
      auto T = beet[A].split(S.first, C);
      auto U = beet[B].split(root[B], D);
      auto V = beet[B].split(U.first, C);
      root[A] = beet[A].merge(T.first, beet[A].merge(V.second, S.second));
      root[B] = beet[B].merge(V.first, beet[B].merge(T.second, U.second));
    } else {
      auto S = beet[A].split(root[A], D);
      auto T = beet[A].split(S.first, C);
      printf("%d\n", beet[A].sum(T.second).first);
      root[A] = beet[A].merge(beet[A].merge(T.first, T.second), S.second);
    }
  }
}

応用: Multiset, Set

既に実装した機能に加えて, lower_bound() などを実装することで Multisetや Set として利用することができる。

kth_element は k(0-indeed) 番目に小さい値を返す。

template< class T >
struct OrderedMultiSet : RandomizedBinarySearchTree< T >
{
  using RBST = RandomizedBinarySearchTree< T >;
  using Node = typename RBST::Node;

  OrderedMultiSet(int sz) : RBST(sz, [&](T x, T y) { return x; }, T()) {}

  T kth_element(Node *t, int k)
  {
    if(k < RBST::count(t->l)) return kth_element(t->l, k);
    if(k == RBST::count(t->l)) return t->key;
    return kth_element(t->r, k - RBST::count(t->l) - 1);
  }

  virtual void insert_key(Node *&t, const T &x)
  {
    RBST::insert(t, lower_bound(t, x), x);
  }

  void erase_key(Node *&t, const T &x)
  {
    if(!count(t, x)) return;
    RBST::erase(t, lower_bound(t, x));
  }

  int count(Node *t, const T &x)
  {
    return upper_bound(t, x) - lower_bound(t, x);
  }

  int lower_bound(Node *t, const T &x)
  {
    if(!t) return 0;
    if(x <= t->key) return lower_bound(t->l, x);
    return lower_bound(t->r, x) + RBST::count(t->l) + 1;
  }

  int upper_bound(Node *t, const T &x)
  {
    if(!t) return 0;
    if(x < t->key) return upper_bound(t->l, x);
    return upper_bound(t->r, x) + RBST::count(t->l) + 1;
  }
};
template< class T >
struct OrderedSet : OrderedMultiSet< T >
{
  using SET = OrderedMultiSet< T >;
  using RBST = typename SET::RBST;
  using Node = typename RBST::Node;

  OrderedSet(int sz) : OrderedMultiSet< T >(sz) {}

  void insert_key(Node *&t, const T &x) override
  {
    if(SET::count(t, x)) return;
    RBST::insert(t, SET::lower_bound(t, x), x);
  }
};