説明

ダブリングによるLCA。

頂点 $u, v$ のLCAを求める。ここで $d_i$ を頂点 $i$ の深さとし, $d_u \le d_v$ を仮定する($d_u \gt d_v$ のときは swap すればよい)。まず $d_v$ を $d_v - d_u$ 個だけ親に遡らせて深さを合わせる。ここで $d_v$ が $d_u$ と一致したらそれが LCA。それ以外のときは, 上位bit から $u, v$ 双方の $2^k$ 先の親が異なれば共に遡ることを繰り返して, 双方の親ではない直前の頂点を求める。するとその親がLCAとなる。

計算量

  • 構築 $O(V \log V)$
  • クエリ $O(\log V)$

実装例

  • DoublingLowestCommonAncestor($g$):= 木 $g$ で初期化する。
  • build():= 構築する。
  • query($u$, $v$):= 頂点 $u$ と $v$ の最小共通祖先を返す。
template< typename G >
struct DoublingLowestCommonAncestor {
  const int LOG;
  vector< int > dep;
  const G &g;
  vector< vector< int > > table;

  DoublingLowestCommonAncestor(const G &g) : g(g), dep(g.size()), LOG(32 - __builtin_clz(g.size())) {
    table.assign(LOG, vector< int >(g.size(), -1));
  }

  void dfs(int idx, int par, int d) {
    table[0][idx] = par;
    dep[idx] = d;
    for(auto &to : g[idx]) {
      if(to != par) dfs(to, idx, d + 1);
    }
  }

  void build() {
    dfs(0, -1, 0);
    for(int k = 0; k + 1 < LOG; k++) {
      for(int i = 0; i < table[k].size(); i++) {
        if(table[k][i] == -1) table[k + 1][i] = -1;
        else table[k + 1][i] = table[k][table[k][i]];
      }
    }
  }

  int query(int u, int v) {
    if(dep[u] > dep[v]) swap(u, v);
    for(int i = LOG - 1; i >= 0; i--) {
      if(((dep[v] - dep[u]) >> i) & 1) v = table[i][v];
    }
    if(u == v) return u;
    for(int i = LOG - 1; i >= 0; i--) {
      if(table[i][u] != table[i][v]) {
        u = table[i][u];
        v = table[i][v];
      }
    }
    return table[0][u];
  }
};

検証

AOJ GRL_5_C LCA: Lowest Common Ancestor

#define PROBLEM "http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=GRL_5_C"

#include "../../template/template.cpp"
#include "../../graph/template.cpp"

#include "../doubling-lowest-common-ancestor.cpp"

int main() {
  int N, Q;
  scanf("%d", &N);
  UnWeightedGraph g(N);
  for(int i = 0; i < N; i++) {
    int k;
    scanf("%d", &k);
    while(k--) {
      int c;
      scanf("%d", &c);
      g[i].push_back(c);
    }
  }
  DoublingLowestCommonAncestor< UnWeightedGraph > lca(g);
  lca.build();
  scanf("%d", &Q);
  while(Q--) {
    int x, y;
    scanf("%d %d", &x, &y);
    printf("%d\n", lca.query(x, y));
  }
}