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:heavy_check_mark: Montgomery Mod Int (math/combinatorics/montgomery-mod-int.hpp)

Montgomery Reduction を用いて、コンパイル時に固定した mod 上の整数を扱います。

MontgomeryModInt

template <uint32_t mod, bool fast = false>
struct MontgomeryModInt

mod を法とする整数型です。値は内部で Montgomery 表現として保持されます。

fast == false の場合、整数からの構築時に値を $[0,\mathrm{mod})$ へ正規化します。fast == true の場合は剰余計算を省略するため、構築時に $0 \leq x < \mathrm{mod}$ を満たす整数だけを渡してください。

次の型エイリアスが定義されています。

template <uint32_t mod>
using modint = MontgomeryModInt<mod>;

using modint998244353 = modint<998244353>;
using modint1000000007 = modint<1000000007>;

制約

  • $3 \leq \mathrm{mod} < 2^{30}$
  • mod は奇数
  • inv または除算を使用する場合、mod は素数

コンストラクタ

MontgomeryModInt()
MontgomeryModInt(const int64_t &x)

デフォルトコンストラクタは $0$ で初期化します。整数 x を渡した場合は、fast == false なら x が負の場合を含めて mod 上の値へ正規化します。

計算量

  • $O(1)$

四則演算

mint &operator+=(const mint &rhs)
mint &operator-=(const mint &rhs)
mint &operator*=(const mint &rhs)
mint &operator/=(const mint &rhs)

mint operator+(const mint &rhs) const
mint operator-(const mint &rhs) const
mint operator*(const mint &rhs) const
mint operator/(const mint &rhs) const
mint operator-() const

mod 上の加算、減算、乗算、除算、単項マイナスを行います。

制約

除算する場合は次を満たす必要があります。

  • rhs != 0
  • mod は素数

計算量

  • 加算、減算、乗算、単項マイナス: $O(1)$
  • 除算: $O(\log \mathrm{mod})$

比較演算

bool operator==(const mint &rhs) const
bool operator!=(const mint &rhs) const

mod 上の値が等しいか比較します。

計算量

  • $O(1)$

val

uint32_t val() const

保持する値を通常表現へ戻し、$[0,\mathrm{mod})$ の整数として返します。

計算量

  • $O(1)$

pow

mint pow(uint64_t n) const

自身の $n$ 乗を返します。

計算量

  • $O(\log n)$

inv

mint inv() const

Fermat の小定理を用いて、自身の乗法逆元を返します。

制約

  • 自身が $0$ ではない
  • mod は素数

計算量

  • $O(\log \mathrm{mod})$

mod

static constexpr uint32_t mod()

法 mod を返します。

計算量

  • $O(1)$

入出力

friend ostream &operator<<(ostream &os, const mint &x)
friend istream &operator>>(istream &is, mint &x)

出力時は $[0,\mathrm{mod})$ の通常表現を出力します。入力時は符号付き $64$ bit 整数を読み込み、fast == false なら mod 上の値へ正規化します。

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Code

#pragma once

#include <cstdint>
#include <iostream>

template <std::uint32_t mod_, bool fast = false>
struct MontgomeryModInt {
 private:
  using mint = MontgomeryModInt;
  using i32 = std::int32_t;
  using i64 = std::int64_t;
  using u32 = std::uint32_t;
  using u64 = std::uint64_t;

  static constexpr u32 get_r() {
    u32 ret = mod_;
    for (i32 i = 0; i < 4; i++) ret *= 2 - mod_ * ret;
    return ret;
  }

  static constexpr u32 r = get_r();

  static constexpr u32 n2 = -u64(mod_) % mod_;

  static_assert(r * mod_ == 1, "invalid, r * mod != 1");
  static_assert(mod_ < (1 << 30), "invalid, mod >= 2 ^ 30");
  static_assert((mod_ & 1) == 1, "invalid, mod % 2 == 0");

  u32 x;

 public:
  MontgomeryModInt() : x{} {}

  MontgomeryModInt(const i64& a)
      : x(reduce(u64(fast ? a : (a % mod() + mod())) * n2)) {}

  static constexpr u32 reduce(const u64& b) {
    return u32(b >> 32) + mod() - u32((u64(u32(b) * r) * mod()) >> 32);
  }

  mint& operator+=(const mint& p) {
    if (i32(x += p.x - 2 * mod()) < 0) x += 2 * mod();
    return *this;
  }

  mint& operator-=(const mint& p) {
    if (i32(x -= p.x) < 0) x += 2 * mod();
    return *this;
  }

  mint& operator*=(const mint& p) {
    x = reduce(u64(x) * p.x);
    return *this;
  }

  mint& operator/=(const mint& p) {
    *this *= p.inv();
    return *this;
  }

  mint operator-() const { return mint() - *this; }

  mint operator+(const mint& p) const { return mint(*this) += p; }

  mint operator-(const mint& p) const { return mint(*this) -= p; }

  mint operator*(const mint& p) const { return mint(*this) *= p; }

  mint operator/(const mint& p) const { return mint(*this) /= p; }

  bool operator==(const mint& p) const {
    return (x >= mod() ? x - mod() : x) == (p.x >= mod() ? p.x - mod() : p.x);
  }

  bool operator!=(const mint& p) const {
    return (x >= mod() ? x - mod() : x) != (p.x >= mod() ? p.x - mod() : p.x);
  }

  u32 val() const {
    u32 ret = reduce(x);
    return ret >= mod() ? ret - mod() : ret;
  }

  mint pow(u64 n) const {
    mint ret(1), mul(*this);
    while (n > 0) {
      if (n & 1) ret *= mul;
      mul *= mul;
      n >>= 1;
    }
    return ret;
  }

  mint inv() const { return pow(mod() - 2); }

  friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const mint& p) {
    return os << p.val();
  }

  friend std::istream& operator>>(std::istream& is, mint& a) {
    i64 t;
    is >> t;
    a = mint(t);
    return is;
  }

  static constexpr u32 mod() { return mod_; }
};

template <std::uint32_t mod>
using modint = MontgomeryModInt<mod>;
using modint998244353 = modint<998244353>;
using modint1000000007 = modint<1000000007>;

#line 2 "math/combinatorics/montgomery-mod-int.hpp"

#include <cstdint>
#include <iostream>

template <std::uint32_t mod_, bool fast = false>
struct MontgomeryModInt {
 private:
  using mint = MontgomeryModInt;
  using i32 = std::int32_t;
  using i64 = std::int64_t;
  using u32 = std::uint32_t;
  using u64 = std::uint64_t;

  static constexpr u32 get_r() {
    u32 ret = mod_;
    for (i32 i = 0; i < 4; i++) ret *= 2 - mod_ * ret;
    return ret;
  }

  static constexpr u32 r = get_r();

  static constexpr u32 n2 = -u64(mod_) % mod_;

  static_assert(r * mod_ == 1, "invalid, r * mod != 1");
  static_assert(mod_ < (1 << 30), "invalid, mod >= 2 ^ 30");
  static_assert((mod_ & 1) == 1, "invalid, mod % 2 == 0");

  u32 x;

 public:
  MontgomeryModInt() : x{} {}

  MontgomeryModInt(const i64& a)
      : x(reduce(u64(fast ? a : (a % mod() + mod())) * n2)) {}

  static constexpr u32 reduce(const u64& b) {
    return u32(b >> 32) + mod() - u32((u64(u32(b) * r) * mod()) >> 32);
  }

  mint& operator+=(const mint& p) {
    if (i32(x += p.x - 2 * mod()) < 0) x += 2 * mod();
    return *this;
  }

  mint& operator-=(const mint& p) {
    if (i32(x -= p.x) < 0) x += 2 * mod();
    return *this;
  }

  mint& operator*=(const mint& p) {
    x = reduce(u64(x) * p.x);
    return *this;
  }

  mint& operator/=(const mint& p) {
    *this *= p.inv();
    return *this;
  }

  mint operator-() const { return mint() - *this; }

  mint operator+(const mint& p) const { return mint(*this) += p; }

  mint operator-(const mint& p) const { return mint(*this) -= p; }

  mint operator*(const mint& p) const { return mint(*this) *= p; }

  mint operator/(const mint& p) const { return mint(*this) /= p; }

  bool operator==(const mint& p) const {
    return (x >= mod() ? x - mod() : x) == (p.x >= mod() ? p.x - mod() : p.x);
  }

  bool operator!=(const mint& p) const {
    return (x >= mod() ? x - mod() : x) != (p.x >= mod() ? p.x - mod() : p.x);
  }

  u32 val() const {
    u32 ret = reduce(x);
    return ret >= mod() ? ret - mod() : ret;
  }

  mint pow(u64 n) const {
    mint ret(1), mul(*this);
    while (n > 0) {
      if (n & 1) ret *= mul;
      mul *= mul;
      n >>= 1;
    }
    return ret;
  }

  mint inv() const { return pow(mod() - 2); }

  friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const mint& p) {
    return os << p.val();
  }

  friend std::istream& operator>>(std::istream& is, mint& a) {
    i64 t;
    is >> t;
    a = mint(t);
    return is;
  }

  static constexpr u32 mod() { return mod_; }
};

template <std::uint32_t mod>
using modint = MontgomeryModInt<mod>;
using modint998244353 = modint<998244353>;
using modint1000000007 = modint<1000000007>;
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